Volúmenes de revolución

Ya sabemos cómo calcular áreas mediante integrales.

Pero muchas veces una región plana puede utilizarse para construir un objeto tridimensional.

¿Cómo podemos calcular el volumen de ese sólido?

Supongamos que la región bajo una curva \(y=f(x)\) gira alrededor del eje \(x\).

Al rotar, cada sección transversal genera un disco cuyo radio es \(f(x)\).

Como el área de un disco es

\[
\pi r^2
\]

cada sección aporta aproximadamente

\[
\pi [f(x)]^2\,dx
\]

al volumen total.

Acumulando todas estas contribuciones obtenemos

\[
V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx.
\]

La integral permite acumular áreas de secciones transversales para construir un volumen.