Una propiedad fundamental del logaritmo
La definición del logaritmo como área acumulada permite demostrar propiedades sorprendentes.
Una de las más importantes es que el área asociada a un producto puede obtenerse sumando áreas más pequeñas.
Idea principal:
Definimos
\(
A(x)=\int_1^x \frac1t\,dt
\)
Entonces:Una
\(A(xy)notable =de A(x)esta +definición A(y)\)
loes que equivaleel alogaritmo escribir:transforma productos en sumas:
\(\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}\)
El siguiente applet permite explorar visualmente esta propiedad mediante áreas acumuladas.
Actividad:
- ¿Qué ocurre con \(A(x) + A(y)\) al mover los deslizadores?
- ¿Cómo se compara con \(A(xy)\)?
- ¿Por qué esta propiedad puede simplificar cálculos con productos?
- ¿Qué relación observas entre multiplicar números y sumar logaritmos?