¿Qué mide la derivada?
En el capítulo anterior definimos la derivada como la pendiente de la recta tangente.
Pero ahora viene la pregunta más importante:
¿Qué mide la derivada?
La derivada mide cómo cambia una función en un punto.
Pero no cualquier cambio. Mide el cambio instantáneo.
Un ejemplo: movimiento
Imagina que una función \(f(t)\) describe la posición de un objeto a lo largo del tiempo.
En ese caso, la derivada \(f'(t)\) nos dice:
qué tan rápido se mueve el objeto en ese instante
Es decir, su velocidad.
En otras palabras, la derivada nos dice qué tan rápido está cambiando una cantidad en ese instante.
Actividad:
Explora el applet y responde:
- ¿Qué representa la función en este contexto?
- ¿Qué representa la pendiente de la recta tangente?
- ¿Qué ocurre con la velocidad cuando cambias el punto \(t_0)?
- ¿En qué puntos la velocidad es positiva? ¿y en cuáles negativa?
- ¿Qué significa que la velocidad sea cero en un instante?
- ¿La velocidad es la misma en todos los puntos? Explica.
En este contexto, la derivada representa la velocidad instantánea: qué tan rápido se mueve el objeto en cada momento.