Polinomio de Taylor
La idea detrás de las aproximaciones anteriores es construir un polinomio que comparta cada vez más información con la función original en un punto.
El polinomio de Taylor utiliza los valores de la función y de sus derivadas para construir una aproximación local.
\(P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)
Interpretación:
Cada término del polinomio incorpora información sobre cómo cambia la función:
- el valor de la función
- su pendiente
- su curvatura
- y cambios de orden superior
Ejemplo:
El polinomio de Taylor de orden \(2\) para \(e^x\) alrededor de \(x_0=0\) es:
\(1+x+\frac{x^2}{2}\)