Límites al infinito

Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando x crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande?

Esto se describe mediante los límites al infinito.

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) \]

Esta expresión no significa que x “llegue” al infinito, sino que x crece sin límite. Lo que nos interesa es observar qué ocurre con los valores de la función.

Actividad 1:

Consideremos la función

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

Si hacemos una tabla de valores, obtenemos:

x	f(x)
1	1
10	0.1
100	0.01
1000	0.001

Observamos que, conforme x crece sin límite, los valores de la función se acercan cada vez más a 0. En símbolos:

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable crece sin límite.

Observa qué ocurre con la gráfica de \(f(x)=1/x\) cuando \(x\) toma valores cada vez más grandes.

¿Qué ocurre con los valores de la función cuando \(x\) aumenta cada vez más?
¿A qué valor parece acercarse la función?

En algunos casos, una función se aproxima a un número fijo cuando x crece sin límite. Cuando eso ocurre, la recta horizontal

\[ y=L \]

se llama asíntota horizontal.

Es decir, si

\[ \lim_{x\to\infty} f(x)=L \]

entonces la gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta \(y=L\) cuando avanzamos hacia la derecha.

Actividad 2:

Distintas funciones pueden aproximarse a distintas rectas horizontales.
Explora en el siguiente applet cómo cambia la asíntota horizontal para 3 diferentes funciones:

\(n=1\), \(f(x)=\frac{1}{x}\)
\(n=2\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\)
\(n=3\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}\)

¿Qué recta parece describir el comportamiento de la función cuando \(f(x)\) crece mucho?
¿Cómo se relaciona esa recta con el límite de la función?

Actividad 3

~~Consideremos~~Para ~~ahora~~entender por qué aparece este comportamiento, analicemos la función algebraicamente.

Consideremos:

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x} \]

Podemos reescribirla como

\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]

Como ya sabemos que \(\frac{1}{x}\to 0\) cuando \(x\to\infty\), se sigue que

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x}=2 \]

Por lo tanto, la recta

\[ y=2 \]

es una asíntota horizontal de la función.

Preguntas para refexionar

Si una función se acerca cada vez más a un número, ¿significa que necesariamente lo alcanza?
¿Puede una función tener dos asíntotas horizontales distintas?
¿Qué cambia cuando analizamos el comportamiento de la función cuando \(x\to -\infty\)?
¿Puede una función acercarse a un valor sin llegar nunca exactamente a él?

En resumen, los límites permiten describir el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor o crece sin límite. En muchos casos, este comportamiento se resume mediante rectas llamadas asíntotas.