Límites al infinito
Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando x crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande?
Esto se describe mediante los límites al infinito.
Esta expresión no significa que x “llegue” al infinito, sino que x crece sin límite. Lo que nos interesa es observar qué ocurre con los valores de la función.
Un primer ejemplo
Consideremos la función
Si hacemos una tabla de valores, obtenemos:
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 10 | 0.1 |
| 100 | 0.01 |
| 1000 | 0.001 |
Observamos que, conforme x crece sin límite, los valores de la función se acercan cada vez más a 0. En símbolos:
Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable crece sin límite.
Actividad:Actividad 1:
Observa qué ocurre con la gráfica de \(f(x)=1/x\) cuando \(x\) toma valores cada vez más grandes.
Asíntotas horizontales
En algunos casos, una función se aproxima a un número fijo cuando x crece sin límite. Cuando eso ocurre, la recta horizontal
se llama asíntota horizontal.
Es decir, si
entonces la gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta \(y=L\) cuando avanzamos hacia la derecha.
Distintas funciones pueden aproximarse a distintas rectas horizontales.
Explora en el siguiente applet cómo cambia la asíntota horizontal para 3 diferentes funciones:
- \(n=1\), \(f(x)=\frac{1}{x}\)
- \(n=2\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\)
- \(n=3\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}\)
OtroActividad ejemplo
2
Consideremos ahora la función
Podemos reescribirla como
Como ya sabemos que \(\frac{1}{x}\to 0\) cuando \(x\to\infty\), se sigue que
Por lo tanto, la recta
es una asíntota horizontal de la función.
Preguntas para pensar
- Si una función se acerca cada vez más a un número, ¿significa que necesariamente lo alcanza?
- ¿Puede una función tener dos asíntotas horizontales distintas?
- ¿Qué cambia cuando analizamos el comportamiento de la función cuando \(x\to -\infty\)?
- ¿Puede una función acercarse a un valor sin llegar nunca exactamente a él?
Conclusión
En conceptual
Así comoresumen, los límites permiten describir el comportamiento de una función cerca de un punto, también permiten entender qué ocurre cuando la variable se aproxima a un valor o crece sin límite. En muchos casos, laeste funcióncomportamiento se aproxima a una recta horizontal que resume sumediante comportamientorectas allamadas largo plazo.asíntotas.