Límites al infinito

Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando x crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande?

Esto se describe mediante los límites al infinito.

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) \]

Esta expresión no significa que x “llegue” al infinito, sino que x crece sin límite. Lo que nos interesa es observar qué ocurre con los valores de la función.

Consideremos la función

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

Si hacemos una tabla de valores, obtenemos:

x	f(x)
1	1
10	0.1
100	0.01
1000	0.001

Observamos que, conforme x crece sin límite, los valores de la función se acercan cada vez más a 0. En símbolos:

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable crece sin límite.

Actividad 1:

Observa qué ocurre con la gráfica de \(f(x)=1/x\) cuando \(x\) toma valores cada vez más grandes.

En algunos casos, una función se aproxima a un número fijo cuando x crece sin límite. Cuando eso ocurre, la recta horizontal

\[ y=L \]

se llama asíntota horizontal.

Es decir, si

\[ \lim_{x\to\infty} f(x)=L \]

entonces la gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta \(y=L\) cuando avanzamos hacia la derecha.

Distintas funciones pueden aproximarse a distintas rectas horizontales.
Explora en el siguiente applet cómo cambia la asíntota horizontal para 3 diferentes funciones:

\(n=1\), \(f(x)=\frac{1}{x}\)
\(n=2\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\)
\(n=3\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}\)

Actividad 2

Consideremos ahora la función

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x} \]

Podemos reescribirla como

\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]

Como ya sabemos que \(\frac{1}{x}\to 0\) cuando \(x\to\infty\), se sigue que

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x}=2 \]

Por lo tanto, la recta

\[ y=2 \]

es una asíntota horizontal de la función.

Preguntas

Si una función se acerca cada vez más a un número, ¿significa que necesariamente lo alcanza?
¿Puede una función tener dos asíntotas horizontales distintas?
¿Qué cambia cuando analizamos el comportamiento de la función cuando \(x\to -\infty\)?
¿Puede una función acercarse a un valor sin llegar nunca exactamente a él?

En resumen, los límites permiten describir el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor o crece sin límite. En muchos casos, este comportamiento se resume mediante rectas llamadas asíntotas.