Límites al infinito

Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando x crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande?

Esto se describe mediante los límites al infinito.

Esta expresión no significa que x “llegue” al infinito, sino que x crece sin límite. Lo que nos interesa es observar qué ocurre con los valores de la función.

Un primer ejemplo

Consideremos la función

Si hacemos una tabla de valores, obtenemos:

Observamos que, conforme x crece, los valores de la función se acercan cada vez más a 0. En símbolos:

Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable crece sin límite.

Applet GeoGebra. Observa qué ocurre con la gráfica de \(f(x)=1/x\) cuando \(x\) toma valores cada vez más grandes.

Asíntotas horizontales

En algunos casos, una función se aproxima a un número fijo cuando x crece sin límite. Cuando eso ocurre, la recta horizontal

se llama asíntota horizontal.

Es decir, si

entonces la gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta \(y=L\) cuando avanzamos hacia la derecha.

Distintas funciones pueden aproximarse a distintas rectas horizontales.
Explora en el siguiente applet cómo cambia la asíntota horizontal para 3 diferentes funciones: 

• \(n=1,1\), \(f(x)=\frac{1}{x}\)
• \(n=2.2\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\)
• \(n=3,3\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}\)

Otro ejemplo

Consideremos ahora la función

Podemos reescribirla como

Como ya sabemos que \(\frac{1}{x}\to 0\) cuando \(x\to\infty\), se sigue que

Por lo tanto, la recta

es una asíntota horizontal de la función.

Preguntas para pensar

Conclusión conceptual

Así como los límites permiten describir el comportamiento de una función cerca de un punto, también permiten entender qué ocurre cuando la variable crece sin límite. En muchos casos, la función se aproxima a una recta horizontal que resume su comportamiento a largo plazo.