Funciones reales y gráficas en el plano

En este curso nos enfocaremos en funciones reales: \(X \subseteq \mathbb{R}\) y \(Y \subseteq \mathbb{R}\). La función se denota \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

La notación \(f(x)\) se lee como "f de x". Si \(f(x)=x^2\) entonces \(f(3)=9\), \(x\) es la variable independiente y \(y=f(x)\) es la variable dependiente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de todos los puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\).

Criterio de la vertical: una gráfica corresponde a una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica a lo más una vez.

Ejemplos:

1. Funciones lineales: tiene la forma \(f(x)=mx + b\). Abre el applet de geogebra y realiza las siguientes actividades:

• Elige dos valores distintos de \(m\) que generen rectas que se crucen en el mismo punto. ¿qué observas sobre ese punto?, ¿de qué depende?
• Encuentra valores de \(m\) y \(b\) tales que la recta:
  • pase por el origen
  • sea horizontal
  • sea decreciente
  • pase por el punto \((2,3)\)

2. Funciones cuadráticas: tiene la forma \(f(x)=ax^2 + bx+c\). Realiza las siguientes actividades:

• Mantén \(b\) y \(c\) fijos. Cambia lo \(a\)
  • ¿Qué permanece igual en todas las parábolas?
  • ¿La parábola se hace más abierta, más cerrada, se voltea?
  • ¿El vértice cambia de lugar?
• Fija \(a\) y \(b\), cambia \(c\).
  • ¿Cómo se mueven las parábolas en el plano?
  • ¿La gráfica se desliza, gira, se estira o se voltea?
  • ¿Qué cambia de la gráfica y qué permanece igual?

3. Funciones racionales: forma general: \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\)

Primer applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) 

• Encuentra un valor de \(x\) donde la gráfica "se rompa", ¿qué ocurre con el denominador en ese punto?.
  
• Ajusta los parámetros para que:
  • La gráfica tenga una asíntota vertical en \(x=1\)
    
  • No tenga ninguna asíntota vertical, ¿qué condición cumple el denominador en este caso?
• Observa la gráfica cerca de una asíntota vertical
  • ¿qué le pasa a \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a ese valor por la izquierda y por la derecha?
• Completa la frase: "El parámetro ____ controla principalmente  ____, mientras que el parámetro ____ controla ____"

Segundo applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{(x-r)(x-s)}\) 

• Ajusta los parámetros para que:
  • la gráfica tenga dos asíntotas verticales
  • tenga solo una.
• Observa que pasa si \(r=s\), ¿cómo cambia la gráfica?
• Observa el comportamiento de la gráfica cerca de cada asíntota, ¿es igual en las dos? 

4. Raíces cuadradas: Son de la forma \(f(x)=a\sqrt{x-h}\). Con el applet de geogebra, realiza las siguientes actividades:

• Mueve \(h\) hasta que la gráfica "empiece" exactamente en \(x=2\)
  • ¿qué valor toma \(h\)
  • ¿qué representa ese punto inicial de la gráfica?
• Ajusta \(a\) para que la gráfica:
  • sea más "empinada"
  • sea más "aplanada"
  • se refleje hacia abajo, ¿cómo son los valores de \(a\) en este caso.
• Fija \(h\) y cambia solo \(a\), ¿el dominio cambia?, ¿y el rango?
• Fija \(a\) y cambia solo \(h\), ¿qué le pasa al dominio?, ¿qué le pasa al punto donde inicia la gráfica?

5. Funciones definidas por partes:

     5.1. Función piso. La función piso \(f(x)=\lfloor x \rfloor\) devuelve el entero más cercano por debajo de \(x\). Es una función que está definida para todo \(x\) pero no cambia de manera continua.

            Actividad: 

• Describe con tus palabras qué hace esta función?,función, ¿redondea?, ¿hacia dónde?
• Si \(x=2.7\), ¿cuánto vale \(f(x)\)?
• Observa la gráfica en los enteros, ¿qué ocurre en \(x=1,2,3,4,...\)
• ¿por qué hay círculos cerrados y puntos llenos?
• ¿el dominio tiene restricciones?, ¿el rango qué tipo de números contiene?

     5.2. Ejemplo general de función definida por partes: La regla que define a la función cambia dependiendo del valor de \(x\).

            Actividad:

• ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el rango?
• ¿En qué intervalos la función es constante, creciente, decreciente?
• Mueve el deslizador y completa la tabla:

  \(x_0\)	Regla que se usa	\(f(x_0)\)
  -1.5
  0
  1.5
  6