Funciones reales y gráficas en el plano

En este curso nos enfocaremos en funciones reales: \(X \subseteq \mathbb{R}\) y \(Y \subseteq \mathbb{R}\). La función se denota \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

La notación \(f(x)\) se lee como "f de x". Si \(f(x)=x^2\) entonces \(f(3)=9\), \(x\) es la variable independiente y \(y=f(x)\) es la variable dependiente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de todos los puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\).

Criterio de la vertical: una gráfica corresponde a una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica a lo más una vez.

Ejemplos:

1. Funciones lineales: tiene la forma \(f(x)=mx + b\). Abre el applet de geogebra y realiza las siguientes actividades:

• Elige dos valores distintos de \(m\) que generen rectas que se crucen en el mismo punto. ¿qué observas sobre ese punto?, ¿de qué depende?
• Encuentra valores de \(m\) y \(b\) tales que la recta:
  • pase por el origen
  • sea horizontal
  • sea decreciente
  • pase por el punto \((2,3)\)

2. Funciones cuadráticas: tiene la forma \(f(x)=ax^2 + bx+c\). Realiza las siguientes actividades:

• Mantén \(b\) y \(c\) fijos. Cambia lo \(a\)
  • ¿Qué permanece igual en todas las parábolas?
  • ¿La parábola se hace más abierta, más cerrada, se voltea?
  • ¿El vértice cambia de lugar?
• Fija \(a\) y \(b\), cambia \(c\).
  • ¿Cómo se mueven las parábolas en el plano?
  • ¿La gráfica se desliza, gira, se estira o se voltea?
  • ¿Qué cambia de la gráfica y qué permanece igual?

3. Funciones racionales: forma general: \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\)

Primer applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) (FALTA EL APPLET)

• Encuentra un valor de \(x\) donde la gráfica "se rompa", ¿qué ocurre con el denominador en ese punto?.
  
• Ajusta los parámetros para que:
  • La gráfica tenga una asíntota vertical en \(x=1\)
    
  • No tenga ninguna asíntota vertical, ¿qué condición cumple el denominador en este caso?
• Observa la gráfica cerca de una asíntota vertical
  • ¿qué le pasa a \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a ese valor por la izquierda y por la derecha?
• Completa la frase: "El parámetro ____ controla principalmente  ____, mientras que el parámetro ____ controla ____"

Segundo applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{(x-r)(x-s)}\) (FALTA EL APPLET)