Discontinuidades

En la sección anterior vimos que una función es continua en \(a\) cuando se cumplen tres condiciones:

1. \(f(a)\) Existe
2. \(lim_{x \to a} f(x)\) Existe
3. Ambos valores coinciden

Cuando alguna de estas condiciones falla, aparece una discontinuidad.

Existen distintas formas en que puede romperse la continuidad.

Tipo	Qué ocurre
Removible	el límite existe pero \(f(a)\) es distinto o no está definido
Salto	los límites laterales son distintos
Infinita	la función crece sin límite

Actividad:

Explora el siguiente applet y cambia el tipo de discontinuidad utilizando el deslizador. Observa lo que ocurre en el punto \(x=1\).

En cada caso, responde:

1. ¿Existe el valor de la función \(f(1)\)?

2. ¿Existe el límite \(lim_{x \to 1} f(x)\) ?

3. ¿Coinciden ambos valores?

Ahora reflexiona:

4. ¿Cuál de las tres condiciones de continuidad deja de cumplirse en cada caso?

5. ¿Cómo se ve esa falla en la gráfica de la función?

Las discontinuidades aparecen cuando alguna de las condiciones de continuidad deja de cumplirse.
Analizar qué ocurre con el límite y con el valor de la función en un punto nos permite entender la forma en que la gráfica “se rompe”.

En algunos casos, como en la discontinuidad infinita, los valores de la función crecen sin límite al acercarnos a un punto. Cuando esto ocurre, la recta vertical

\(x=a\)

se llama asíntota vertical de la función; escribimos:

\(lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\)

Así, el estudio de los límites no solo permite describir el comportamiento de una función cerca de un punto, sino también entender la estructura global de su gráfica.