Definición de Derivada
En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta especial: la recta tangente.
Pero surge una pregunta: ¿cómo describir matemáticamente esa recta?
Sabemos que la pendiente de la recta secante es:
\(\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)
Si hacemos que los puntos se acerquen cada vez más, esta expresión se aproxima a la pendiente de la recta tangente.
A ese valor se le llama derivada de la función en el punto \(x_0\) y se define como:
\(f'(x)=\lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)
Esta expresión representa la pendiente de la recta tangente en el punto.
Es decir, describe el cambio instantáneo de la función.
Actividad
Explora el applet y responde:
- ¿Qué ocurre con la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos tiende a cero?
- ¿A qué valor parece acercarse?
- ¿Cómo se relaciona este valor con la pendiente de la recta tangente?
- ¿Por qué necesitamos usar un límite para definir la pendiente en un punto?
La derivada permite describir cómo cambia una función en cada instante.