Continuidad

Imagina que recorres la gráfica de una función con la punta de un lápiz.
Si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel, decimos que la función es continua.

Matemáticamente, esto significa que cuando \(x\) se acerca a un punto \(a\), los valores de la función se acercan al valor de la función en ese punto.

Decimos que \(f\) es continua en \(a\) si:

\(lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Es más fácil si lo descomponemos en tres pasos:

1. \(f(a)\) Existe
2. \(lim_{x \to a} f(x)\) Existe
3. Ambos valores coinciden

Actividad

En la definición de continuidad intervienen dos elementos: el valor de la función en el punto y el límite de la función cuando nos acercamos a ese punto.

En el siguiente applet podemos observar cómo estos dos valores se comportan cuando \(x\) se acerca a \(a\).

Mueve los deslizadores y observa qué ocurre con el límite y con el valor de la función.

• Mueve el punto \(a\) a lo largo de la gráfica.
  ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando \(x\) se acerca a \(a\)?
• Compara el valor del límite \(lim_{x \to a} f(x)\) con el valor de \(f(a)\)
  ¿Qué relación observas entre ellos?
• ¿Se cumplen siempre las tres condiciones de continuidad en este ejemplo?

En este ejemplo las tres condiciones se cumplen, por lo que la función es continua en ese punto.
En la siguiente sección veremos qué ocurre cuando alguna de estas condiciones falla.