Independencia de Variables Aleatorias
Dos variables \(X\) y \(Y\) son independientes si conocer el valor de una no aporta información sobre la otra.
Definición: \(X_1,\dots,X_n\) se dicen variables aleatorias independientes si para cualesquiera conjuntos borelianos \(B_1,\dots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\),
\[
\mathbb{P}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n) = \mathbb{P}(X_1\in B_1)\cdots\mathbb{P}(X_n\in B_n).
\]
Proposición: caracterización equivalente vía \(F\) y \(f\)
Sea \((X,Y)\) con f.p.a. conjunta \(F\) y marginales \(F_X,F_Y\), y f.d.p./f.m.p. conjunta \(f\) y marginales \(f_X,f_Y\). \(X\) y \(Y\) son independientes si y solo si, para todo \(x,y\in\mathbb{R}\), \[ \text{i)}\ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{ii)}\ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y). \] Demostración (esbozo): si los eventos \(A_x=\{X\le x\}\) y \(B_y=\{Y\le y\}\) son independientes para todo \(x,y\), entonces \(F(x,y)=\mathbb{P}(A_x\cap B_y)=\mathbb{P}(A_x)\mathbb{P}(B_y)=F_X(x)F_Y(y)\); derivando ambos lados (caso continuo) o sumando (caso discreto) se obtiene la factorización de \(f\), y viceversa.
Lema de factorización: \(X\) y \(Y\) (con densidad/f.m.p. conjunta \(f\)) son independientes si y solo si existen funciones \(g\) y \(h\) tales que \(f(x,y)=g(x)h(y)\) para todo \(x,y\).
Regla práctica: si el soporte \(S_{XY}\) no es un rectángulo (producto cartesiano de dos conjuntos), es imposible que \(X,Y\) sean independientes. Si el soporte sí es un rectángulo, aún hay que verificar la factorización de \(f\).