Se lanzan \(n\) bolas en \(r\) cajas al azar. La probabilidad de que exactamente \(k\) cajas queden vacías es:
\[
p_k(r, n) = \binom{r}{k} \sum_{j=0}^{r-k} (-1)^j \binom{r-k}{j} \left(1 - \frac{j+k}{r}\right)^n
\]
Caso particular: ninguna caja vacía
\[
p_0(r, n) = \sum_{j=0}^{r} (-1)^j \binom{r}{j} \left(1 - \frac{j}{r}\right)^n
\]
Para \(r=n=5\): \(p_0 = \frac{5!}{5^5} = \frac{120}{3125} = 0.0384\)
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una caja quede vacía?
Para \(r=n\), la probabilidad de que exactamente una caja quede vacía es
\[
p_1 = \binom{r}{1} \left(1 - \frac{1}{r}\right)^n \sum_{j=0}^{r-1} (-1)^j \binom{r-1}{j} \left(1 - \frac{j+1}{r}\right)^n
\]
Para \(r=n=5\), \(p_1 \approx 0.384\). ¡Es más probable tener una caja vacía que ninguna!
Ejercicio
Para \(r=n=3\) (3 bolas en 3 cajas), use la fórmula de \(p_0(r,n)\) para calcular la probabilidad de que ninguna caja quede vacía, y la de que al menos una quede vacía.
\[
p_0(3,3) = \binom{3}{0}(1)^3 - \binom{3}{1}\left(\tfrac23\right)^3 + \binom{3}{2}\left(\tfrac13\right)^3 - \binom{3}{3}(0)^3 = 1 - \tfrac{24}{27} + \tfrac{3}{27} - 0 = \tfrac{6}{27} = \tfrac{2}{9} \approx 0.2222.
\]
Esto coincide con contar directamente: de las \(3^3=27\) formas de asignar 3 bolas a 3 cajas, las que no dejan ninguna vacía son las biyecciones, \(3!=6\), dando \(6/27=2/9\). Por lo tanto \(\mathbb{P}(\text{al menos una vacía}) = 1-\tfrac29 = \tfrac79 \approx 0.7778\).
