Integración por partes

La integración por partes surge al reorganizar la regla del producto.

Recordatorio:

\(
(fg)' = f'g + fg'
\)

Idea principal:

Si integramos ambos lados:

\(
fg=\int f'g\,dx+\int fg'\,dx\)

Y despejamos una de las integrales:

\(
\int fg'\,dx = fg-\int f'g\,dx
\)

Así:

Fórmula de Integración por partes:

\(\int u\,dv = uv-\int v\,du\)

\(
(fg)'
\;\leftrightarrow\;
\text{integración por partes}
\)

Ejemplo:

\(
\int x^2(x+1)\,dx
\)

\(
u=x
\qquad
dv=(x+1)dx
\)

\(
du=2dx
\qquad
v=\frac{(x+1)^2}{2}
\)

En algunos casos, una integral puede resolverse mediante distintos métodos. Elegir un método adecuado suele depender de reconocer la estructura de la integral.

La integración por partes resulta especialmente útil cuando aparece un producto de funciones cuya derivada o antiderivada simplifica la expresión.

A diferencia de la derivación, integrar suele requerir reconocer patrones y elegir estrategias adecuadas.

La integración por partes transforma una integral complicada en otra potencialmente más sencilla, utilizando la estructura de un producto de funciones.