Integración por partes

La integración por partes surge al reorganizar la regla del producto.

Recordatorio:

\(
(fg)' = f'g + fg'
\)

Idea informal:

\(
\int (fg)'dx
=
\int f'g\,dx
+
\int fg'\,dx
\)

y usamos que integrar “deshace” derivar:

\(
fg
=
\int f'g\,dx
+
\int fg'\,dx
\)

Ahora podemos despejar una de las integrales:

\(
\int fg'\,dx
=
fg-\int f'g\,dx
\)

Así:

\(
\int u\,dv
=
uv-\int v\,du
\)

\(
(fg)'
\;\leftrightarrow\;
\text{integración por partes}
\)

Ejemplo:

\(
\int x^2(x+1)\,dx
\)

\(
u=x
\qquad
dv=(x+1)^2dx
\)

\(
du=dx
\qquad
v=\frac{(x+1)^3}{3}
\)

Así:

\([
\int x^2(x+1)\u\,dxdv = x\frac{(x+1)^3}{3}-uv-\int \frac{(x+1)^3}{3}\v\,dx = x\frac{(x+1)^3}{3}-\frac{(x+1)^4}{4} + Cdu
\)]

En algunos casos, una integral puede resolverse mediante distintos métodos.

La integración por partes resulta especialmente útil cuando aparece un producto de funciones cuya derivada o antiderivada simplifica la expresión.

A diferencia de la derivación, integrar suele requerir reconocer patrones y elegir estrategias adecuadas.

La integración por partes transforma una integral complicada en otra potencialmente más sencilla, utilizando la estructura de un producto de funciones.