Funciones: idea y representaciones

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

Una funciónfunción \(f\) es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto \(X\) exactamente un elemento de un conjunto \(Y\).

Esta funciónfunción se denota como \(f: X \to Y\)

El conjunto \(X\) se llama dominio y el conjunto \(Y\) se llama codominio.

La imagen de un elemento \(x \in X\) es el valor \(y=f(x) \in Y\) en el codominio.

Al conjunto de todos los valores posibles de la funciónfunción se le llama rango o imagen de \(f\). 

Notación:Notación: \(f(X)=\{f(x)| x \in X\} \subseteq Y\)

REPRESENTACIONES DE FUNCIONES

Existen varias formas de definir funciones. A continuacióncontinuación se muestran algunas y se proponen preguntas de reflexión.reflexión.

Tabla de valores:

Una funciónfunción puede definirse mediante una tabla. En este ejemplo vamos a representar una funciónfunción \(f\) que asigna a un paíspaís su población:población: 

\(x\)	\(f(x)\)
MéxicoMéxico	133 millones
Estados Unidos	349 millones
CanadáCanadá	41 millones
Brasil	213 millones
Argentina	47 millones
Chile	20 millones
PerúPerú	34 millones
...	...

Preguntas: 

• ¿Qué¿Qué tipo de objetos son las entradas de esta función:función: números,números, palabras, países,países, categorías…categorías…?

• ¿¿Todos los paísespaíses del mundo podríanpodrían aparecer como entrada de esta función?función?
  ¿¿Por quéqué sísí o por quéqué no?

• ¿Qué¿Qué pasaríapasaría si alguien intenta evaluar la funciónfunción en “España”“España” si no estáestá en la tabla?
  ¿¿La funciónfunción deja de existir o simplemente no estáestá definida ahí?ahí?

• ¿¿El dominio es finito o infinito? ¿Cómo¿Cómo lo sabes?

• ¿Cuáles¿Cuáles son las "salidas de esta función?función?
• ¿¿Tiene sentido que la salida sea cualquier númeronúmero real, como 3.7 o -12?
• ¿Podría¿Podría el codominio ser "todos los númerosnúmeros reales"?
• ¿¿Crees que dos paísespaíses distintos podríanpodrían tener exactamente la misma población?población?, si esto pasa, ¿seguiría¿seguiría siendo una función?función?

• ¿Qué¿Qué ventajas tiene pensar esta tabla como una funciónfunción y no solo como una lista de datos?

Algoritmo:

Una funciónfunción puede definirse mediante un algoritmo. Ejemplo: una funciónfunción \(f\) que asigna a una cadena su longitud:

• \(f(sal) = 3\)
• \(f(mar) = 3\)
• \(f(límite)límite) = 6\)
• \(f(paralelogramo) = 13\)
• \(f(cálculo)cálculo) = 7\)

Preguntas:

• ¿Qué¿Qué tipo de objetos son ahora las entradas de la función?función?
  

• ¿Qué¿Qué tienen en comúncomún todos los elementos del dominio?
  

• ¿Podría¿Podría esta funciónfunción aplicarse a cualquier palabra del español?español?
  ¿¿Y a palabras en otros idiomas?
  ¿¿Y a símbolossímbolos como ““$$$”” o “123”“123”?
  

• ¿Qué¿Qué tipo de objeto es la salida de la función?función?
  

• ¿¿Puede la funciónfunción tomar el valor 0?
  ¿¿Para quéqué entrada?

• ¿¿Crees que dos palabras distintas pueden tener la misma imagen?
  Pon ejemplos.

• ¿Podría¿Podría una misma palabra tener dos valores distintos?
  ¿Qué¿Qué pasaríapasaría si eso ocurriera?

• ¿¿En quéqué sentido sigue siendo una función,función, aunque no haya fórmulas?fórmulas?

Gráfica:Gráfica:

Una funciónfunción puede definirse mediante su gráfica.gráfica. Ejemplo: el precio de un par de audífonosaudífonos en el tiempo

https://www.geogebra.org/classic/dh5zxnxx

Preguntas:

• ¿Qué¿Qué representa el eje horizontal en esta gráfica?gráfica?

• ¿Qué¿Qué significa un punto como (2015, 2300)?

• ¿¿Por quéqué no tiene sentido evaluar la funciónfunción en 2015.3?

• ¿¿Esta funciónfunción es continua o discreta? ¿¿Por qué?qué?

• ¿¿Tiene sentido que el precio sea negativo?

• ¿¿Tiene sentido que sea 12 pesos?

• ¿Qué¿Qué rango de valores es razonable para este fenómeno?fenómeno?

• ¿¿Esta gráficagráfica describe una ley matemáticamatemática exacta o una aproximaciónaproximación de la realidad?

TambiénTambién podemos crear una funciónfunción a partir del esbozo de su gráfica.gráfica.

https://www.geogebra.org/classic/a2xkvsg8

Preguntas:

Lectura de gráfica:gráfica:

• ¿¿En quéqué intervalos la funciónfunción crece?

• ¿¿En quéqué intervalos decrece?

• ¿Dónde¿Dónde parece haber un máximomáximo local?

• ¿¿Hay algúnalgún tramo donde la funciónfunción sea casi constante?

Interpretación:Interpretación:

• ¿Qué¿Qué fenómenofenómeno real podríapodría tener esta forma?

• ¿Qué¿Qué historia cuenta esta gráfica?gráfica?

• ¿Qué¿Qué podríapodría representar el eje horizontal?

• ¿Qué¿Qué podríapodría representar el eje vertical?

ConstrucciónConstrucción de función:función:

• ¿¿Crees que existe una fórmulafórmula “bonita”“bonita” que la genere exactamente?

• Si no, ¿qué¿qué tipo de funciones usaríasusarías para aproximarla?

• ¿¿Una funciónfunción por partes tendríatendría sentido aquí?aquí?

Funciones explícitas:explícitas:

Una funciónfunción explícitaexplícita se define mediante una expresiónexpresión algebraica. Por ejemplo \(f(x)=x^2\) asigna a un númeronúmero su cuadrado. En cálculo,cálculo, trabajaremos principalmente con funciones explícitas.explícitas.