¿Qué es una función?

DEFINICIÓN

Una función \(f\) es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto \(X\) exactamente un elemento de un conjunto \(Y\).

Esta función se denota como \(f: X \to Y\)

El conjunto \(X\) se llama dominio y el conjunto \(Y\) se llama codominio.

La imagen de un elemento \(x \in X\) es el valor \(y=f(x) \in Y\) en el codominio.

Al conjunto de todos los valores posibles de la función se le llama rango o imagen de \(f\). 

Notación: \(f(X)=\{f(x)| x \in X\} \subseteq Y\)

REPRESENTACIONES DE FUNCIONES

Existen varias formas de definir funciones. A continuación se muestran algunas y se proponen preguntas de reflexión.

Tabla de valores:

Una función puede definirse mediante una tabla. En este ejemplo vamos a representar una función \(f\) que asigna a un país su población: 

\(x\)	\(f(x)\)
México	133 millones
Estados Unidos	349 millones
Canadá	41 millones
Brasil	213 millones
Argentina	47 millones
Chile	20 millones
Perú	34 millones
...	...

Preguntas: 

• ¿Qué tipo de objetos son las entradas de esta función: números, palabras, países, categorías…?

• ¿Todos los países del mundo podrían aparecer como entrada de esta función?
  ¿Por qué sí o por qué no?

• ¿Qué pasaría si alguien intenta evaluar la función en “España” si no está en la tabla?
  ¿La función deja de existir o simplemente no está definida ahí?

• ¿El dominio es finito o infinito? ¿Cómo lo sabes?

• ¿Cuáles son las "salidas de esta función?
• ¿Tiene sentido que la salida sea cualquier número real, como 3.7 o -12?
• ¿Podría el codominio ser "todos los números reales"?
• ¿Crees que dos países distintos podrían tener exactamente la misma población?, si esto pasa, ¿seguiría siendo una función?

• ¿Qué ventajas tiene pensar esta tabla como una función y no solo como una lista de datos?

Algoritmo:

Una función puede definirse mediante un algoritmo. Ejemplo: una función \(f\) que asigna a una cadena su longitud:

• \(f(sal) = 3\)
• \(f(mar) = 3\)
• \(f(límite) = 6\)
• \(f(paralelogramo) = 13\)
• \(f(cálculo) = 7\)

Preguntas:

• ¿Qué tipo de objetos son ahora las entradas de la función?
  

• ¿Qué tienen en común todos los elementos del dominio?
  

• ¿Podría esta función aplicarse a cualquier palabra del español?
  ¿Y a palabras en otros idiomas?
  ¿Y a símbolos como “$$$” o “123”?
  

• ¿Qué tipo de objeto es la salida de la función?
  

• ¿Puede la función tomar el valor 0?
  ¿Para qué entrada?

• ¿Crees que dos palabras distintas pueden tener la misma imagen?
  Pon ejemplos.

• ¿Podría una misma palabra tener dos valores distintos?
  ¿Qué pasaría si eso ocurriera?

• ¿En qué sentido sigue siendo una función, aunque no haya fórmulas?

Gráfica:

Una función puede definirse mediante su gráfica. Ejemplo: el precio de un par de audífonos en el tiempo

https://www.geogebra.org/classic/dh5zxnxx

Preguntas:

• ¿Qué representa el eje horizontal en esta gráfica?

• ¿Qué significa un punto como (2015, 2300)?

• ¿Por qué no tiene sentido evaluar la función en 2015.3?

• ¿Esta función es continua o discreta? ¿Por qué?

• ¿Tiene sentido que el precio sea negativo?

• ¿Tiene sentido que sea 12 pesos?

• ¿Qué rango de valores es razonable para este fenómeno?

• ¿Esta gráfica describe una ley matemática exacta o una aproximación de la realidad?

También podemos crear una función a partir del esbozo de su gráfica.

 

https://www.geogebra.org/classic/a2xkvsg8

Preguntas:

Lectura de gráfica:

• ¿En qué intervalos la función crece?

• ¿En qué intervalos decrece?

• ¿Dónde parece haber un máximo local?

• ¿Hay algún tramo donde la función sea casi constante?

Interpretación:

• ¿Qué fenómeno real podría tener esta forma?

• ¿Qué historia cuenta esta gráfica?

• ¿Qué podría representar el eje horizontal?

• ¿Qué podría representar el eje vertical?

Construcción de función:

• ¿Crees que existe una fórmula “bonita” que la genere exactamente?

• Si no, ¿qué tipo de funciones usarías para aproximarla?

• ¿Una función por partes tendría sentido aquí?