Vectores Aleatorios Discretos

Considere \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad y \((X,Y): \Omega \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) una función bivariada. Si para todo \((x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\) se tiene \(\{\omega \in \Omega : (X,Y)(\omega)=(x,y)\} \in \mathcal{F}\), entonces \((X,Y)\) se dice un vector aleatorio (v.a.) definido sobre \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\).

Definición: Sea \((X,Y)\) un v.a. y considere \(f_{XY}: \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to [0,1]\) tal que \[ f_{XY}(x,y) = \mathbb{P}\big(\{\omega \in \Omega: (X,Y)(\omega)=(x,y)\}\big) = \mathbb{P}(X=x,Y=y). \] Si \(\{(x,y): f_{XY}(x,y)>0\}\) es finito o infinito numerable, \((X,Y)\) se dice un vector aleatorio discreto y \(f_{XY}\) su función masa de probabilidad conjunta (f.m.p.).

El conjunto \(S_{XY}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f_{XY}(x,y)>0\}\) se llama soporte de \((X,Y)\).

Proposición: toda f.m.p. conjunta es no negativa y suma 1

Sea \((X,Y)\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \(f_{XY}\) y soporte \(S_{XY}\). Entonces

\(f_{XY}(x,y) \ge 0\) para todo \(x,y\).
\(\sum_{(x_i,y_j)\in S_{XY}} f_{XY}(x_i,y_j) = 1\).

Demostración: (a) se sigue de los axiomas de probabilidad. Para (b), sea \(A_{ij}=\{\omega: (X,Y)(\omega)=(x_i,y_j)\}\); como \(\{A_{ij}\}\) particiona \(\Omega\), por K2 y K3, \(1=\mathbb{P}(\Omega)=\sum_{i,j}\mathbb{P}(A_{ij}) = \sum_{(x_i,y_j)\in S_{XY}} f_{XY}(x_i,y_j)\).

Proposición (marginales): Sea \((X,Y)\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \(f_{XY}\). Entonces las f.m.p. marginales de \(X\) y \(Y\) son \[ f_X(x) = \sum_{y_j} f_{XY}(x,y_j), \qquad f_Y(y) = \sum_{x_i} f_{XY}(x_i,y). \] De la conjunta siempre se obtienen las marginales — pero no al revés: distintas conjuntas pueden compartir las mismas marginales (compare, abajo, los dados honestos y los dados cargados: ambos tienen \(f_X=f_Y=1/6\), pero conjuntas distintas).

Aplicación interactiva

Lanza dos dados (experiencia interactiva)

⚀

Manipula la dependencia (dados cargados)

"Carga" (probabilidad extra cuando X=Y): 1

Ejercicio

(Barrios & Chambón, Cuaderno de Ejercicios CP2, ej. 1) Una urna tiene 2 bolas: una marcada con "0" y otra con "1". Se sacan dos bolas con reemplazo. Sea \(X\) el valor máximo entre las dos extracciones y \(Y\) el valor mínimo. Obtenga la f.m.p. conjunta de \((X,Y)\) y sus marginales.

Las dos extracciones son independientes y uniformes en \(\{0,1\}\), cada uno de los 4 pares \((0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\) tiene probabilidad \(1/4\). Como \(X=\max\), \(Y=\min\): \[ f_{XY}(0,0)=\tfrac14,\quad f_{XY}(1,0)=\tfrac24,\quad f_{XY}(1,1)=\tfrac14,\quad f_{XY}(0,1)=0. \] Sumando por filas/columnas: \(f_X(0)=\tfrac14\), \(f_X(1)=\tfrac34\); \(f_Y(0)=\tfrac34\), \(f_Y(1)=\tfrac14\).