Vectores Aleatorios Discretos
Considere \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad y \((X,Y): \Omega \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) una función bivariada. Si para todo \((x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\) se tiene \(\{\omega \in \Omega : (X,Y)(\omega)=(x,y)\} \in \mathcal{F}\), entonces \((X,Y)\) se dice un vector aleatorio (v.a.) definido sobre \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\).
Definición: Sea \((X,Y)\) un v.a. y considere \(f_{XY}: \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to [0,1]\) tal que
\[
f_{XY}(x,y) = \mathbb{P}\big(\{\omega \in \Omega: (X,Y)(\omega)=(x,y)\}\big) = \mathbb{P}(X=x,Y=y).
\]
Si \(\{(x,y): f_{XY}(x,y)>0\}\) es finito o infinito numerable, \((X,Y)\) se dice un vector aleatorio discreto y \(f_{XY}\) su función masa de probabilidad conjunta (f.m.p.).
El conjunto \(S_{XY}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f_{XY}(x,y)>0\}\) se llama soporte de \((X,Y)\).
Proposición: toda f.m.p. conjunta es no negativa y suma 1
Sea \((X,Y)\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \(f_{XY}\) y soporte \(S_{XY}\). Entonces- \(f_{XY}(x,y) \ge 0\) para todo \(x,y\).
- \(\sum_{(x_i,y_j)\in S_{XY}} f_{XY}(x_i,y_j) = 1\).
Proposición (marginales): Sea \((X,Y)\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \(f_{XY}\). Entonces las f.m.p. marginales de \(X\) y \(Y\) son
\[
f_X(x) = \sum_{y_j} f_{XY}(x,y_j), \qquad f_Y(y) = \sum_{x_i} f_{XY}(x_i,y).
\]
De la conjunta siempre se obtienen las marginales — pero no al revés: distintas conjuntas pueden compartir las mismas marginales (compare, abajo, los dados honestos y los dados cargados: ambos tienen \(f_X=f_Y=1/6\), pero conjuntas distintas).
Aplicación interactiva
Lanza dos dados (experiencia interactiva)
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Manipula la dependencia (dados cargados)
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