Distribuciones Uniforme y Exponencial

Uniforme(a,b): \(f(x)=\frac{1}{b-a}\), \(\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}\), \(\operatorname{var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
Exponencial(λ): \(f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\), \(\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}\), \(\operatorname{var}(T)=\frac{1}{\lambda^2}\)
Pérdida de memoria: \(\mathbb{P}(T > t+s | T > s) = \mathbb{P}(T > t)\)

Simulador y verificador de pérdida de memoria

Distribución:

s: 1.0 t: 1.0

Ejemplo del PDF (autos a exceso de velocidad):
λ=8.4 autos/hora = 0.14 autos/min. \[ \mathbb{P}(T > 10) = e^{-0.14·10}=0.2466 \] \[ \mathbb{P}(T > 10|T > 5) = e^{-0.14·5}=0.4965 \]

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 15, ej. 5) El tiempo medido en horas para reparar una máquina es una variable aleatoria exponencial de parámetro \(\lambda=1/2\). ¿Cuál es la probabilidad de que un tiempo de reparación (a) exceda 2 horas, (b) tome a lo sumo 4 horas, (c) tome a lo sumo 4 horas dado que no se ha logrado la reparación en las primeras 2 horas?

Sea \(T\sim\text{Exponencial}(\lambda=1/2)\), con \(\mathbb{P}(T>t)=e^{-t/2}\).

a) \(\mathbb{P}(T>2) = e^{-1} \approx 0.36788\)

b) \(\mathbb{P}(T\le4) = 1-e^{-2} \approx 0.86466\)

c) Por la pérdida de memoria, \(T-2 \mid T>2 \sim \text{Exponencial}(\lambda=1/2)\), así que \[ \mathbb{P}(T\le4 \mid T>2) = \mathbb{P}(T-2\le2 \mid T>2) = 1-e^{-2\cdot(1/2)} = 1-e^{-1} \approx 0.63212. \] Nótese que esta probabilidad condicional es igual a \(\mathbb{P}(T\le2)\): haber esperado ya 2 horas sin éxito no cambia la probabilidad de necesitar 2 horas más.