# Límites al infinito
Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando *x* se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando *x* crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande?
Esto se describe mediante los **límites al infinito**.
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) \]
Esta expresión no significa que *x* “llegue” al infinito, sino que *x* crece sin límite. Lo que nos interesa es observar qué ocurre con los valores de la función.
##### Actividad 1:
Consideremos la función
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
Si hacemos una tabla de valores, obtenemos:
| *x* | *f(x)* |
|---|
| 1 | 1 |
| 10 | 0.1 |
| 100 | 0.01 |
| 1000 | 0.001 |
Observamos que, conforme *x* crece sin límite, los valores de la función se acercan cada vez más a 0. En símbolos:
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \]
Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable crece sin límite.
Observa qué ocurre con la gráfica de \\(f(x)=1/x\\) cuando \\(x\\) toma valores cada vez más grandes.
- ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando \\(x\\) aumenta cada vez más?
- ¿A qué valor parece acercarse la función?
En algunos casos, una función se aproxima a un número fijo cuando *x* crece sin límite. Cuando eso ocurre, la recta horizontal
\[ y=L \]
se llama **asíntota horizontal**.
Es decir, si
\[ \lim_{x\to\infty} f(x)=L \]
entonces la gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta \\(y=L\\) cuando avanzamos hacia la derecha.
##### Actividad 2:
Distintas funciones pueden aproximarse a distintas rectas horizontales.
Explora en el siguiente applet cómo cambia la asíntota horizontal para **3** diferentes funciones:
- \\(n=1\\), \\(f(x)=\\frac{1}{x}\\)
- \\(n=2\\), \\(f(x)=\\frac{2x+1}{x}\\)
- \\(n=3\\), \\(f(x)=\\frac{x^2+1}{x^2}\\)
- ¿Qué recta parece describir el comportamiento de la función cuando \\(f(x)\\) crece mucho?
- ¿Cómo se relaciona esa recta con el límite de la función?
##### Actividad 3
Para entender por qué aparece este comportamiento, analicemos la función algebraicamente.
Consideremos:
\[ f(x)=\frac{2x+1}{x} \]
Podemos reescribirla como
\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]
Como ya sabemos que \\(\\frac{1}{x}\\to 0\\) cuando \\(x\\to\\infty\\), se sigue que
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x}=2 \]
Por lo tanto, la recta
\[ y=2 \]
es una asíntota horizontal de la función.
##### Preguntas para refexionar
- Si una función se acerca cada vez más a un número, ¿significa que necesariamente lo alcanza?
- ¿Puede una función tener dos asíntotas horizontales distintas?
- ¿Qué cambia cuando analizamos el comportamiento de la función cuando \\(x\\to -\\infty\\)?
- ¿Puede una función acercarse a un valor sin llegar nunca exactamente a él?
En resumen, los límites permiten describir el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor o crece sin límite. En muchos casos, este comportamiento se resume mediante rectas llamadas asíntotas.