La función logarítmica

A diferencia de muchas funciones conocidas, el logaritmo natural puede construirse directamente a partir de una integral.

Su definición surge de estudiar cómo se acumula el área bajo la curva:

\(
y=\frac1x
\)

Definición:

Definimos la función logarítmica natural mediante:

\(
\ln(x)=\int_1^x \frac1t\,dt
\)

Es decir, \(\ln(x)\) representa el área acumulada bajo la curva \(y=\frac{1}{x}\) desde \(1\) hasta \(x\).

Interpretación:

Cuando \(x\) aumenta, el área acumulada sigue creciendo.

Sin embargo, como: \(\frac1x\) disminuye lentamente, el crecimiento del logaritmo también se vuelve cada vez más lento.

Actividad:

• ¿Qué representa geométricamente \(ln(x)\)?
• ¿Qué ocurre con el área acumulada cuando \(x\) aumenta?
• ¿Por qué el logaritmo crece cada vez más lentamente?
• ¿Qué relación existe entre acumulación y la función logarítmica?

El logaritmo natural puede interpretarse como una función de acumulación construida a partir de áreas.

Esta definición conecta directamente el logaritmo con el cálculo integral.