La función exponencial

La función exponencial surge como la inversa del logaritmo natural. 

 Si: 

 \( y=\ln(x) \) 

 entonces existe una función que “deshace” el logaritmo: 

 \( x=e^y \) 

 La función exponencial posee una propiedad extraordinaria: 

 \( \frac{d}{dx}(e^x)=e^x \) 

 Es decir, la función coincide con su propia derivada. 

 Interpretación: 

 Esto implica que la razón de cambio de la función es proporcional a su valor actual. 

 Por esta razón, la función exponencial aparece naturalmente en modelos de: 

 

 crecimiento poblacional 

 interés compuesto 

 desintegración radiactiva 

 difusión 

 procesos biológicos y económicos. 

 

 

 Actividad: 

 

 ¿Qué observas entre el valor de \(e^x\) y la pendiente de la tangente? 

 ¿Por qué la función exponencial crece cada vez más rápido? 

 ¿Qué significa que una función sea igual a su derivada? 

 ¿Por qué este comportamiento es útil para modelar crecimiento? 

 

 La función exponencial ocupa un lugar central en cálculo debido a que su comportamiento de crecimiento se conserva al derivar e integrar. 

 Su relación con el logaritmo natural conecta acumulación y crecimiento.