La función exponencial

La función exponencial surge como la inversa del logaritmo natural.

Si:

\(
y=\ln(x)
\)

entonces existe una función que “deshace” el logaritmo:

\(
x=e^y
\)

La función exponencial posee una propiedad extraordinaria:

\(
\frac{d}{dx}(e^x)=e^x
\)

Es decir, la función coincide con su propia derivada.

Interpretación:

Esto implica que la razón de cambio de la función es proporcional a su valor actual.

Por esta razón, la función exponencial aparece naturalmente en modelos de:

• crecimiento poblacional
• interés compuesto
• desintegración radiactiva
• difusión
• procesos biológicos y económicos.

Actividad:

• ¿Qué observas entre el valor de \(e^x\) y la pendiente de la tangente?
• ¿Por qué la función exponencial crece cada vez más rápido?
• ¿Qué significa que una función sea igual a su derivada?
• ¿Por qué este comportamiento es útil para modelar crecimiento?

La función exponencial ocupa un lugar central en cálculo debido a que su comportamiento de crecimiento se conserva al derivar e integrar.

Su relación con el logaritmo natural conecta acumulación y crecimiento.