Crecimiento y Decrecimiento
Hasta ahora vimos que la derivada nos dice qué tan rápido cambia una función.
Pero hay algo aún más importante:
¿la función está aumentando o disminuyendo?
La derivada no solo mide rapidez.
También nos dice la dirección del cambio.
El signo de la pendiente de la recta tangente determina si la función crece o decrece.
| Si la derivada es positiva, la función está creciendo. | \(f'(x)>0\) |
| Si la derivada es negativa, la función está decreciendo. | \(f'(x)<0\) |
| Si la derivada es cero, la función no está cambiando en ese instante. | \(f'(x)=0\) |
En el ejemplo del movimiento:
- velocidad positiva → el objeto avanza
- velocidad negativa → el objeto retrocede
- velocidad cero → el objeto se detiene momentáneamente
Actividad:
Explora el applet y responde:
- ¿En qué intervalos la función está creciendo?, ¿En cuáles está decreciendo?
- ¿Qué ocurre en los puntos donde la velocidad es cero?
- ¿La función cambia de comportamiento en esos puntos? Explica.
- ¿Cómo se relaciona el signo de la derivada con el comportamiento de la función?
- ¿Podemos usar la derivada para encontrar máximos y mínimos?
La derivada no solo mide rapidez: también indica la dirección del cambio.
El signo de la derivada permite entender el comportamiento de una función a lo largo de su dominio.