Continuidad
Imagina que recorres la gráfica de una función con la punta de un lápiz.
Si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel, decimos que la función es continua.
Una función es continua en un punto si su gráfica no presenta saltos, huecos ni interrupciones en ese punto.
Matemáticamente, esto significa que cuando \(x\) se acerca a un punto \(a\), los valores de la función se acercan al valor de la función en ese punto.
Decimos que \(f\) es continua en \(a\) si:
\(lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
Es decir, cuando el valor de la función coincide con el valor al que se aproxima la gráfica cuando \(x\) se acerca a ese punto.
De manera más precisa, una función \(f(x)\) es continua en \(x=a\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:
- \(f(a)\) Existe
- \(lim_{x \to a} f(x)\) Existe
- Ambos valores coinciden
Actividad
En la definición de continuidad intervienen dos elementos: el valor de la función en el punto y el límite de la función cuando nos acercamos a ese punto.
En el siguiente applet podemos observar cómo estos dos valores se comportan cuando \(x\) se acerca a \(a\).
Mueve los deslizadores y observa qué ocurre con el límite y con el valor de la función.
- Mueve el punto \(a\) a lo largo de la gráfica.
¿Qué ocurre con los valores de la función cuando \(x\) se acerca a \(a\)? - Compara el valor del límite \(lim_{x \to a} f(x)\) con el valor de \(f(a)\)
¿Qué relación observas entre ellos? - ¿Se cumplen siempre las tres condiciones de continuidad en este ejemplo?
- ¿Qué ocurriría si el valor de la función en ese punto fuera distinto del valor al que se aproxima la gráfica?
Cuando alguna de estas condiciones falla, aparece una discontinuidad.