FUNCIONES Y GRÁFICAS

En este capítulo estudiaremos el concepto de función como una herramienta para describir relaciones entre variables. Analizaremos sus distintas formas de representación (algebraica, gráfica y tabular) y aprenderemos a interpretar geométricamente cómo cambian las gráficas al modificar sus parámetros.

Funciones: idea y representaciones

Antes de que aparezcan fórmulas y gráficas, piensa en esto:

Cada vez que revisas el clima, cada vez que ves el precio del dólar, cada vez que Spotify te recomienda una canción o cuando ves cómo cambian las calorías que quemas al correr más rápido, estás usando funciones.

Una función no es primero una fórmula, es una manera de decir: "a cada país le corresponde una población", "a cada palabra le corresponde una longitud", "a cada año le corresponde un precio promedio de audífonos". Las funciones son la forma matemática de capturar estas relaciones.

DEFINICIÓN

Una función \(f\) es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto \(X\) exactamente un elemento de un conjunto \(Y\).

Esta función se denota como \(f: X \to Y\)

El conjunto \(X\) se llama dominio y el conjunto \(Y\) se llama codominio.

La imagen de un elemento \(x \in X\) es el valor \(y=f(x) \in Y\) en el codominio.

Al conjunto de todos los valores posibles de la función se le llama rango o imagen de \(f\). 

Notación: \(f(X)=\{f(x)| x \in X\} \subseteq Y\)

REPRESENTACIONES DE FUNCIONES

Existen varias formas de definir funciones. A continuación se muestran algunas y se proponen preguntas de reflexión.

Tabla de valores:

Una función puede definirse mediante una tabla. En este ejemplo vamos a representar una función \(f\) que asigna a un país su población: 

\(x\) \(f(x)\)
México 133 millones
Estados Unidos 349 millones
Canadá 41 millones
Brasil 213 millones
Argentina 47 millones
Chile 20 millones
Perú 34 millones
... ...

Preguntas: 

Sobre las entradas y salidas:

Sobre dominio, codominio y definición:

Sobre propiedades de las funciones:

Algoritmo:

Una función puede definirse mediante un algoritmo. Ejemplo: una función \(f\) que asigna a una cadena su longitud:

Preguntas:

Sobre el dominio:

Sobre las salidas:

Sobre qué significa ser función:

Gráfica:

Una función puede definirse mediante su gráfica. Ejemplo: el precio de un par de audífonos en el tiempo


Preguntas:

Interpretación básica:

Sobre el dominio y el tipo de función:

Sobre el modelo y la realidad:

También podemos crear una función a partir del esbozo de su gráfica.

Preguntas:

Lectura de gráfica:

Interpretación:

Construcción de función:

Funciones explícitas:

Una función explícita se define mediante una expresión algebraica. Por ejemplo \(f(x)=x^2\) asigna a un número su cuadrado. En cálculo, trabajaremos principalmente con funciones explícitas.

Funciones reales y gráficas en el plano

A cada tipo de función le corresponde una forma característica. En esta sección estudiaremos distintos tipos de funciones a través de sus gráficas, enfocándonos en cómo la regla que define a la función se refleja en su gráfica.

Estudiaremos funciones reales: \(X \subseteq \mathbb{R}\) y \(Y \subseteq \mathbb{R}\). La función se denota \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

La notación \(f(x)\) se lee como "f de x". Si \(f(x)=x^2\) entonces \(f(3)=9\), \(x\) es la variable independiente y \(y=f(x)\) es la variable dependiente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de todos los puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\).

Criterio de la vertical: una gráfica corresponde a una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica a lo más una vez.

Ejemplos:

1. Funciones lineales: tiene la forma \(f(x)=mx + b\). Son las más simples, pero no las menos importantes. Describen crecimiento constante y aparecen en modelos económicos, físicos y sociales.

Abre el applet de geogebra y realiza las siguientes actividades:

2. Funciones cuadráticas: tiene la forma \(f(x)=ax^2 + bx+c\). Muchas trayectorias en la vida real tienen forma parabólica: el recorrido de un objeto lanzado, el movimiento de una pelota. Usa la gráfica que aparece a continuación y realiza las siguientes actividades:

Las funciones lineales y cuadráticas que hemos estudiado hasta ahora pertenecen a una misma familia: las funciones polinomiales. Estas funciones están definidas para todo número real y sus gráficas no presentan cortes ni saltos.

3. Funciones racionales: forma general: \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), son el cociente de dos polinomios. En algunas funciones, no todos los valores de una variable están permitidos. Las funciones racionales son un ejemplo importante: su gráfica puede presentar rupturas y asíntotas debido a restricciones en el dominio. Sus gráficas son muy útiles para analizar estos comportamientos.

Primer applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) 

Segundo applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{(x-r)(x-s)}\) 

4. Raíces cuadradas: Son de la forma \(f(x)=a\sqrt{x-h}\). No todas las funciones empiezan en cualquier punto: las funciones raíz cuadrada tienen un punto inicial que determina su dominio. Estas funciones aparecen de forma natural al describir distancias y longitudes que no pueden ser negativas. Describen fenómenos que sólo existen a partir de cierto instante.

Con el applet de geogebra, realiza las siguientes actividades:

5. Funciones definidas por partes:

     5.1. Función piso. La función piso \(f(x)=\lfloor x \rfloor\) devuelve el entero más cercano por debajo de \(x\). Es una función que está definida para todo \(x\) pero no cambia de manera continua. Un ejemplo de esta función es la edad: cuando alguien pregunta cuántos años tienes, normalmente respondemos un número entero. Aunque hayas cumplido 20 años y 3 meses, la respuesta es que tienes 20 años.

            Actividad: 

     5.2. Ejemplo general de función definida por partes: La regla que define a la función cambia dependiendo del valor de \(x\). 

            Actividad:

 

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

En los ejemplos anteriores vimos que no todas las funciones están definidas para todos los valores de \(x)\. A este conjunto de valores permitidos se le llama dominio de la función.

Algunas funciones restringen su dominio de forma implícita, entre las restricciones comunes están:

Ejemplos:

  1. \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) no está definida en \(x=1\), el dominio es: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Aunque la expresión se puede simplificar, la función original no está definida en ese punto.
  2. \(f(x)=a\sqrt{x-h}\) no está definida para \(x<h\), el dominio es: \([h,\infty)\)

Actividad de cierre: Para cada una de las funciones estudiadas en esta página:

Transformaciones

Muchas funciones se parecen entre sí: cambian de lugar horizontal o verticalmente, se estiran, se voltean, pero conservan su forma básica.

En esta sección exploraremos cómo una gráfica conocida puede transformarse en muchas otras. Partiremos de una función base y analizaremos qué ocurre al modificar distintos parámetros.

Sea \(g(x)=b*f(a(x-h))+k\), los parámetros \(a\), \(b\), \(h\) y \(k\) modifican la gráfica de \(f\) de distintas maneras. Trabajaremos con este applet en cuatro etapas, enfocándonos en un parámetro distinto en cada una.

Etapa 1: efecto de los parámetros \(h\) y \(k\):

Fija \(a=1\) y \(b=1\)

Al movimiento que ocurre cuando movemos \(h\) se le llama una translación horizontal, y al movimiento que ocurre cuando movemos \(k\), una translación vertical.

Etapa 2: efecto en el parámetro \(b\):

Fija \(h=0\) y \(k=0\)

Este tipo de cambio se llama estiramiento vertical y cuando \(b<0\), como reflexión vertical.

Etapa 3: efecto en el parámetro \(a\):

Fija \(b=1\), \(h=0\) y \(k=0\)

Aunque la función original no cambió, su gráfica puede moverse, estirarse o reflejarse al modificar los parámetros. Las transformaciones permiten generar muchas gráficas a partir de una sola función base.

Actividad: Hasta ahora hemos trabajado con una función específica para entender el efecto de cada parámetro. Ahora explora qué ocurre cuando cambias la función base \(f(x)\).

Sugerencia de funciones para probar:

Con esas funciones observa:

Otras funciones importantes

En esta sección exploraremos algunas funciones que aparecen con mucha frecuencia en matemáticas y en aplicaciones y cuyas gráficas presentan comportamientos distintos a los que hemos visto hasta ahora.

1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto aparece cuando solo importa el tamaño del error, la magnitud de una diferencia o qué tan lejos estás de un valor de referencia, sin importar el signo. Por ejemplo, podemos decir "me equivoqué por 2" y es equivalente a equivocarse por \(-2\) o \(+2\).

Gráficamente, esto se refleja en que todos los valores negativos se "voltean" hacia arriba.

Actividad:

2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Hay fenómenos que no evolucionan de manera lineal, sino que suben y bajan y se repiten una y otra vez: el día y la noche, las estaciones del año, el ritmo del corazón, las mareas, las ondas de sonido, los ciclos económicos.

Las funciones trigonométricas aparecen cuando queremos describir comportamientos periódicos, es decir, patrones que se repiten regularmente con el tiempo.

Actividad:

3. FUNCIONES INVERSAS

Dada una función \(f\), puede surgir la pregunta inversa: si conocemos el valor de \(f(x)\), ¿podemos recuperar el valor de \(x\)?

No todas las funciones permiten hacerlo, cuando es posible, la función inversa describe exactamente ese proceso de recuperación.

La gráfica de una función inversa se obtiene intercambiando los roles de entrada y salida. Gráficamente, esto se refleja como una simetría respecto a la recta \(y=x\).

Actividad: