DERIVADAS
En muchos contextos no solo nos interesa conocer el valor de una función, sino también cómo cambia. Por ejemplo, podemos preguntar qué tan rápido se mueve un objeto, qué tan rápido crece una población o qué tan inclinada es una curva en un punto. En este capítulo estudiaremos la derivada como una herramienta para describir cambios instantáneos y entender el comportamiento local de las funciones.
El problema del cambio
Muchas cantidades en el mundo cambian constantemente.
- la velocidad de un automóvil
- la temperatura durante el día
- la altura de una pelota al ser lanzada
- el número de personas en una ciudad
Las matemáticas pueden describir cuánto vale una cantidad en cada momento.
Pero muchas veces queremos saber algo distinto:
¿qué tan rápido está cambiando esa cantidad en un instante?
Por ejemplo:
- ¿qué tan rápido se mueve un automóvil en este momento?
- ¿qué tan rápido cae una pelota en cierto instante?
- ¿qué tan inclinada está una curva en un punto?
Responder a esta pregunta llevó al desarrollo de una de las ideas centrales del cálculo:
la derivada.
El siguiente video presenta de manera visual este problema:
cómo medir el cambio de una función en un punto.
Actividad
Una función describe la posición de un automóvil en el tiempo.
- ¿Qué significa que la pendiente de la gráfica en un punto sea positiva?
- ¿Qué significa que sea negativa?
- ¿Qué ocurre cuando la pendiente es cero?
En el video se muestra cómo una recta secante se aproxima a una tangente.
¿Qué ocurre con la pendiente de la recta cuando los dos puntos se acercan cada vez más?
Rectas Secantes y cambio promedio
En la página anterior nos preguntamos cómo medir el cambio en un instante.
Antes de responder eso, empecemos con algo más sencillo: ¿cómo medir el cambio entre dos puntos?
Supongamos que una función describe la posición de un objeto en el tiempo. Si tomamos dos instantes distintos, podemos medir cuánto cambió la posición.
Esto nos da una medida del cambio promedio.
Geométricamente, esto corresponde a la pendiente de una recta que une dos puntos de la gráfica.
A esta recta se le llama recta secante.
Actividad
Explora el applet y responde:
- ¿Qué ocurre con la pendiente de la recta secante cuando cambias la distancia entre los puntos?
- ¿Qué sucede cuando los dos puntos están muy separados?
- ¿Qué ocurre cuando los puntos se acercan?
- ¿Cómo cambia la pendiente dependiendo de la posición del segundo punto respecto al primero?
- Cuando los dos puntos están muy cerca, ¿la recta secante parece acercarse a una recta en particular?
Recta Tangente
En la página anterior vimos cómo una recta secante mide el cambio entre dos puntos.
Pero surge una pregunta natural:
¿qué ocurre cuando esos dos puntos se acercan cada vez más?
Al acercar los puntos, la recta secante parece estabilizarse. Esa recta especial tiene un nombre: recta tangente.
Actividad:
Mueve el control de la distancia entre puntos y observa qué ocurre con la recta secante cuando los puntos se acercan cada vez más.
Activa la opción “Mostrar recta tangente” y compara ambas rectas.
Responde las siguientes preguntas:
- ¿Qué ocurre con la recta secante cuando los puntos están muy cerca?
- ¿Parece acercarse a una recta en particular?
- ¿Cómo se compara la recta secante con la recta tangente?
- ¿Qué puedes decir de la pendiente de ambas rectas cuando los puntos están muy próximos?
A la recta que se obtiene cuando los puntos se acercan cada vez más se le llama recta tangente.
Definición de Derivada
En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta especial: la recta tangente.
Pero surge una pregunta: ¿cómo describir matemáticamente esa recta?
Sabemos que la pendiente de la recta secante es:
\(\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)
Si hacemos que la distancia entre los puntos, \(\Delta{x}\) se acerque a \(0\), esta expresión se aproxima a la pendiente de la recta tangente.
A ese valor se le llama derivada de la función en el punto \(x_0\) y se define como:
\(f'(x)=\lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)
Esta expresión representa la pendiente de la recta tangente en el punto.
Es decir, describe el cambio instantáneo de la función.
Actividad
Explora el applet y responde:
- ¿Qué ocurre con la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos tiende a cero?
- ¿A qué valor parece acercarse?
- ¿Cómo se relaciona este valor con la pendiente de la recta tangente?
- ¿Por qué necesitamos usar un límite para definir la pendiente en un punto?
La derivada permite describir cómo cambia una función en cada instante.
Es la herramienta que nos permite pasar de observar el cambio a medirlo con precisión.