Considere \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad y \((X,Y): \Omega \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) una función bivariada. Si para todo \((x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\) se tiene \(\{\omega \in \Omega : (X,Y)(\omega)=(x,y)\} \in \mathcal{F}\), entonces \((X,Y)\) se dice un **vector aleatorio** (v.a.) definido sobre \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\).

**Definición:** Sea \\((X,Y)\\) un v.a. y considere \\(f\_{XY}: \\mathbb{R}\\times\\mathbb{R} \\to \[0,1\]\\) tal que \[ f_{XY}(x,y) = \mathbb{P}\big(\{\omega \in \Omega: (X,Y)(\omega)=(x,y)\}\big) = \mathbb{P}(X=x,Y=y). \] Si \\(\\{(x,y): f\_{XY}(x,y)>0\\}\\) es finito o infinito numerable, \\((X,Y)\\) se dice un **vector aleatorio discreto** y \\(f\_{XY}\\) su **función masa de probabilidad conjunta** (f.m.p.). El conjunto \\(S\_{XY}=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2 : f\_{XY}(x,y)>0\\}\\) se llama **soporte** de \\((X,Y)\\).

Proposición: toda f.m.p. conjunta es no negativa y suma 1

Sea \\((X,Y)\\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \\(f\_{XY}\\) y soporte \\(S\_{XY}\\). Entonces 1. \\(f\_{XY}(x,y) \\ge 0\\) para todo \\(x,y\\). 2. \\(\\sum\_{(x\_i,y\_j)\\in S\_{XY}} f\_{XY}(x\_i,y\_j) = 1\\). **Demostración:** (a) se sigue de los axiomas de probabilidad. Para (b), sea \\(A\_{ij}=\\{\\omega: (X,Y)(\\omega)=(x\_i,y\_j)\\}\\); como \\(\\{A\_{ij}\\}\\) particiona \\(\\Omega\\), por K2 y K3, \\(1=\\mathbb{P}(\\Omega)=\\sum\_{i,j}\\mathbb{P}(A\_{ij}) = \\sum\_{(x\_i,y\_j)\\in S\_{XY}} f\_{XY}(x\_i,y\_j)\\).

**Proposición (marginales):** Sea \\((X,Y)\\) v.a. discreto con f.m.p. conjunta \\(f\_{XY}\\). Entonces las **f.m.p. marginales** de \\(X\\) y \\(Y\\) son \[ f_X(x) = \sum_{y_j} f_{XY}(x,y_j), \qquad f_Y(y) = \sum_{x_i} f_{XY}(x_i,y). \] De la conjunta siempre se obtienen las marginales — pero **no al revés**: distintas conjuntas pueden compartir las mismas marginales (compare, abajo, los dados honestos y los dados cargados: ambos tienen \\(f\_X=f\_Y=1/6\\), pero conjuntas distintas). ## Aplicación interactiva

#### Lanza dos dados (experiencia interactiva)

⚀

#### Manipula la dependencia (dados cargados)

"Carga" (probabilidad extra cuando X=Y):1

## Ejercicio

(Barrios & Chambón, Cuaderno de Ejercicios CP2, ej. 1) Una urna tiene 2 bolas: una marcada con "0" y otra con "1". Se sacan dos bolas *con reemplazo*. Sea \\(X\\) el valor máximo entre las dos extracciones y \\(Y\\) el valor mínimo. Obtenga la f.m.p. conjunta de \\((X,Y)\\) y sus marginales.

Las dos extracciones son independientes y uniformes en \\(\\{0,1\\}\\), cada uno de los 4 pares \\((0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\\) tiene probabilidad \\(1/4\\). Como \\(X=\\max\\), \\(Y=\\min\\): \\\[ f\_{XY}(0,0)=\\tfrac14,\\quad f\_{XY}(1,0)=\\tfrac24,\\quad f\_{XY}(1,1)=\\tfrac14,\\quad f\_{XY}(0,1)=0. \\\] Sumando por filas/columnas: \\(f\_X(0)=\\tfrac14\\), \\(f\_X(1)=\\tfrac34\\); \\(f\_Y(0)=\\tfrac34\\), \\(f\_Y(1)=\\tfrac14\\).