Teorema Central del Límite (TCL)

Teorema Central del Límite (Lindberg-Lévy): 
\[
Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{D} Z \sim N(0,1)
\]
Es decir, para n grande, \(\bar{X}_n \approx N(\mu, \sigma^2/n)\).
 

 
 Visualización del TCL para diferentes distribuciones 
 
 Distribución original: 
 
 Uniforme(0,1) (simétrica) 
 Exponencial(λ=1) (asimétrica) 
 Bernoulli(p=0.2) (discreta) 
 Cauchy(0,1) - ¡contraejemplo! 
 
 n (tamaño muestra): 
 
 30 
 Simular distribución de la media 
 
 
 
 

 
 Esquema de demostración (usando FGM) 
Para variables estandarizadas con media 0 y varianza 1:
\[
m_{\sqrt{n}\bar{X}_n}(t) = \left[m_X\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n
\]
Tomando logaritmo y usando expansión de Taylor:
\[
\log m_X(s) = \frac{s^2}{2} + o(s^2)
\]
\[
n \log m_X\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \to \frac{t^2}{2}
\]
Por lo tanto, \(m_{\sqrt{n}\bar{X}_n}(t) \to e^{t^2/2}\), que es la FGM de \(N(0,1)\).
 

 Ejemplo del PDF (lámparas): Tiempo de vida exponencial con media 10 días. Probabilidad de que 50 lámparas duren menos de 365 días:
\[
\mathbb{P}(S_{50} < 365) \approx \Phi\left(\frac{365 - 50\cdot10}{10\sqrt{50}}\right) = \Phi\left(\frac{-135}{70.71}\right) = \Phi(-1.91) \approx 0.028
\]
¡Solo 2.8% de probabilidad! 

 
 ¿Qué pasa si aplicamos TCL a una distribución Cauchy? 
La distribución Cauchy no tiene varianza finita , por lo que el TCL no aplica. De hecho, la media muestral de Cauchy sigue siendo Cauchy (no se concentra). ¡Es el contraejemplo clásico del TCL!
 

 Ejercicio 

 
 El tiempo de vida de una batería es exponencial con media 5 horas. Se conectan 40 baterías independientes en serie, de modo que el sistema completo dura la suma \(S_{40}\) de sus tiempos de vida. Aproxime \(\mathbb{P}(S_{40}>220 \text{ horas})\) usando el TCL. 
Para \(X_i\sim\text{Exponencial}(\text{media}=5)\), \(\mu=5\) y \(\sigma=5\) (para la exponencial, la desviación estándar es igual a la media). Con \(n=40\):
\[
\mathbb{E}[S_{40}] = n\mu = 40(5) = 200, \qquad \operatorname{var}(S_{40}) = n\sigma^2 = 40(25) = 1000, \qquad \text{sd}(S_{40})=\sqrt{1000}\approx31.62.
\]
Usando la aproximación normal:
\[
\mathbb{P}(S_{40}>220) \approx 1-\Phi\left(\frac{220-200}{31.62}\right) = 1-\Phi(0.632) \approx 1-0.7365 = 0.2635.
\]
Hay aproximadamente 26.35% de probabilidad de que el sistema dure más de 220 horas.