# Teorema Central del Límite (TCL)
**Teorema Central del Límite (Lindberg-Lévy):**\[ Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{D} Z \sim N(0,1) \] Es decir, para n grande, \(\bar{X}_n \approx N(\mu, \sigma^2/n)\).
#### Visualización del TCL para diferentes distribuciones
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Esquema de demostración (usando FGM) Para variables estandarizadas con media 0 y varianza 1: \\\[ m\_{\\sqrt{n}\\bar{X}\_n}(t) = \\left\[m\_X\\left(\\frac{t}{\\sqrt{n}}\\right)\\right\]^n \\\] Tomando logaritmo y usando expansión de Taylor: \\\[ \\log m\_X(s) = \\frac{s^2}{2} + o(s^2) \\\] \\\[ n \\log m\_X\\left(\\frac{t}{\\sqrt{n}}\\right) \\to \\frac{t^2}{2} \\\] Por lo tanto, \\(m\_{\\sqrt{n}\\bar{X}\_n}(t) \\to e^{t^2/2}\\), que es la FGM de \\(N(0,1)\\).
**Ejemplo del PDF (lámparas):** Tiempo de vida exponencial con media 10 días. Probabilidad de que 50 lámparas duren menos de 365 días: \\\[ \\mathbb{P}(S\_{50} < 365) \\approx \\Phi\\left(\\frac{365 - 50\\cdot10}{10\\sqrt{50}}\\right) = \\Phi\\left(\\frac{-135}{70.71}\\right) = \\Phi(-1.91) \\approx 0.028 \\\] ¡Solo 2.8% de probabilidad!
**¿Qué pasa si aplicamos TCL a una distribución Cauchy?** La distribución Cauchy **no tiene varianza finita**, por lo que el TCL no aplica. De hecho, la media muestral de Cauchy sigue siendo Cauchy (no se concentra). ¡Es el contraejemplo clásico del TCL!
## Ejercicio
El tiempo de vida de una batería es exponencial con media 5 horas. Se conectan 40 baterías independientes en serie, de modo que el sistema completo dura la suma \\(S\_{40}\\) de sus tiempos de vida. Aproxime \\(\\mathbb{P}(S\_{40}>220 \\text{ horas})\\) usando el TCL. Para \\(X\_i\\sim\\text{Exponencial}(\\text{media}=5)\\), \\(\\mu=5\\) y \\(\\sigma=5\\) (para la exponencial, la desviación estándar es igual a la media). Con \\(n=40\\): \\\[ \\mathbb{E}\[S\_{40}\] = n\\mu = 40(5) = 200, \\qquad \\operatorname{var}(S\_{40}) = n\\sigma^2 = 40(25) = 1000, \\qquad \\text{sd}(S\_{40})=\\sqrt{1000}\\approx31.62. \\\] Usando la aproximación normal: \\\[ \\mathbb{P}(S\_{40}>220) \\approx 1-\\Phi\\left(\\frac{220-200}{31.62}\\right) = 1-\\Phi(0.632) \\approx 1-0.7365 = 0.2635. \\\] Hay aproximadamente 26.35% de probabilidad de que el sistema dure más de 220 horas.