Teorema Central del Límite (TCL)
Teorema Central del Límite (Lindberg-Lévy):
\[
Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{D} Z \sim N(0,1)
\]
Es decir, para n grande, \(\bar{X}_n \approx N(\mu, \sigma^2/n)\).
Visualización del TCL para diferentes distribuciones
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Esquema de demostración (usando FGM)
Para variables estandarizadas con media 0 y varianza 1: \[ m_{\sqrt{n}\bar{X}_n}(t) = \left[m_X\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n \] Tomando logaritmo y usando expansión de Taylor: \[ \log m_X(s) = \frac{s^2}{2} + o(s^2) \] \[ n \log m_X\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \to \frac{t^2}{2} \] Por lo tanto, \(m_{\sqrt{n}\bar{X}_n}(t) \to e^{t^2/2}\), que es la FGM de \(N(0,1)\).Ejemplo del PDF (lámparas): Tiempo de vida exponencial con media 10 días. Probabilidad de que 50 lámparas duren menos de 365 días: \[ \mathbb{P}(S_{50} < 365) \approx \Phi\left(\frac{365 - 50\cdot10}{10\sqrt{50}}\right) = \Phi\left(\frac{-135}{70.71}\right) = \Phi(-1.91) \approx 0.028 \] ¡Solo 2.8% de probabilidad!