Estadísticos de Orden - Definición

Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una muestra aleatoria (i.i.d.) de una población con función de distribución \(F\). Los estadísticos de orden son las variables ordenadas: \[ X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)} \] donde \(X_{(1)} = \min\{X_i\}\), \(X_{(n)} = \max\{X_i\}\).

Simulador: Muestra aleatoria y estadísticos de orden

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Aplicaciones:

  • Sistemas en serie: El tiempo de vida es \(X_{(1)}\) (el más débil falla primero)
  • Sistemas en paralelo: El tiempo de vida es \(X_{(n)}\) (el último en fallar)
  • Control de calidad: El rango \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\) mide la variabilidad
¿Qué representa la mediana muestral en términos de estadísticos de orden? Si \(n\) es impar, la mediana es \(X_{((n+1)/2)}\) (el estadístico de orden central). Si \(n\) es par, la mediana es \(\frac{1}{2}(X_{(n/2)} + X_{(n/2+1)})\).

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 1) Considere \(X_1,\ldots,X_n\) una muestra aleatoria de una población distribuida uniformemente en \((0,\theta)\). Considere los estimadores \(\tilde\theta\) y \(\hat\theta\) del parámetro \(\theta\) dados por \(\tilde\theta=2\bar X\), \(\hat\theta=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\). Muestre que ambos son estimadores insesgados de \(\theta\), es decir, \(\mathbb{E}[\tilde\theta]=\theta\) y \(\mathbb{E}[\hat\theta]=\theta\). Para \(\tilde\theta\): como \(X_i\sim\text{Unif}(0,\theta)\), \(\mathbb{E}[X_i]=\theta/2\), así que \(\mathbb{E}[\bar X]=\theta/2\) y \[ \mathbb{E}[\tilde\theta] = 2\,\mathbb{E}[\bar X] = 2\cdot\frac{\theta}{2} = \theta. \] Para \(\hat\theta\), necesitamos \(\mathbb{E}[X_{(n)}]\). Usando \(F(x)=x/\theta\) y la fórmula del máximo (módulo siguiente), \(f_{X_{(n)}}(x)=n f(x)[F(x)]^{n-1} = \frac{n}{\theta^n}x^{n-1}\) para \(0\le x\le\theta\). Entonces: \[ \mathbb{E}[X_{(n)}] = \int_0^\theta x\cdot\frac{n}{\theta^n}x^{n-1}\,dx = \frac{n}{\theta^n}\cdot\frac{\theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n}{n+1}\theta. \] Por lo tanto: \[ \mathbb{E}[\hat\theta] = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{n}{n+1}\theta = \theta. \] Ambos estimadores son insesgados, aunque tienen varianzas distintas — de hecho, \(\hat\theta\) (basado en el máximo) resulta tener menor varianza para \(n\) grande, lo que lo hace preferible en la práctica.
Revision #1
Created 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto
Updated 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto