Distribuciones Condicionales

Una propiedad clave de la normal bivariada es que las distribuciones condicionales también son normales.
 

 Teorema: Si \((X_1, X_2)\) es normal bivariada, entonces
\[
(X_1 \mid X_2 = x_2) \sim N\left(\mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2),\; \sigma_1^2(1-\rho^2)\right)
\]
\[
(X_2 \mid X_1 = x_1) \sim N\left(\mu_2 + \rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x_1 - \mu_1),\; \sigma_2^2(1-\rho^2)\right)
\] 

 
 Demostración de la distribución condicional 
\[
f(x_1|x_2) = \frac{f(x_1, x_2)}{f_2(x_2)}
\]
Completando cuadrados en \(x_1\):
\[
f(x_1|x_2) \propto \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma_1^2(1-\rho^2)}\left[x_1 - \left(\mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2)\right)\right]^2\right\}
\]
que es el núcleo de una normal con la media y varianza indicadas.
 

 
 Explora las distribuciones condicionales 
 
 μ₁: 
 
 0 
 μ₂: 
 
 0 
 σ₁: 
 
 1.0 
 σ₂: 
 
 1.0 
 ρ: 
 
 0.70 
 Valor fijo X₂ = x₂: 
 
 1.0 
 
 
 
 

 
 ¿Qué pasa con la varianza condicional cuando |ρ| → 1? 
Cuando \(|\rho| \to 1\), \(\sigma_1^2(1-\rho^2) \to 0\). Esto significa que si conocemos \(X_2\), sabemos casi con certeza el valor de \(X_1\). En el límite, la relación es lineal perfecta.
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 8, ej. 6) Las longitudes en centímetros de ala a ala (X) y de pico a cola (Y) de cierto tipo de aves siguen una distribución normal bivariada con \(\mathbb{E}[X]=40\), \(\operatorname{var}(X)=76\), \(\mathbb{E}[Y]=30\), \(\operatorname{var}(Y)=32\), \(\operatorname{var}(X|Y=28.5)=57\). Suponga \(\operatorname{cov}(X,Y)>0\). Determine la probabilidad de que un ave tenga una longitud de pico a cola menor a 21 cm, dado que su longitud de ala a ala es 25 cm. 
Primero encontramos \(\rho\) a partir de la fórmula de varianza condicional \(\operatorname{var}(X|Y=y)=\sigma_X^2(1-\rho^2)\):
\[
57 = 76(1-\rho^2) \implies 1-\rho^2 = 0.75 \implies \rho^2=0.25 \implies \rho=0.5 \quad (\text{positivo, pues } \operatorname{cov}(X,Y)>0).
\]
Ahora necesitamos \(\mathbb{P}(Y<21\mid X=25)\), usando el teorema de esta página (con los papeles de \(X_1,X_2\) intercambiados):
\[
\mathbb{E}[Y|X=25] = \mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(25-\mu_X) = 30 + 0.5\cdot\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{76}}(25-40) \approx 25.13,
\]
\[
\operatorname{var}(Y|X=25) = \sigma_Y^2(1-\rho^2) = 32(0.75) = 24.
\]
Entonces:
\[
\mathbb{P}(Y<21\mid X=25) = \Phi\left(\frac{21-25.13}{\sqrt{24}}\right) = \Phi(-0.844) \approx 0.1994.
\]