Distribución t de Student

La distribución t de Student con \(n\) grados de libertad se define como:
\[
T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}, \quad \text{donde } Z \sim N(0,1),\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes}
\]
Su densidad es:
\[
f_T(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, \quad t \in \mathbb{R}
\]
 

 
 Comparativa: t-Student vs Normal 
 
 Grados de libertad n: 
 
 5 
 
 
 
 

 Propiedades de la distribución t: 
 
 Simétrica alrededor de 0 (colas más pesadas que la normal) 
 \(\mathbb{E}[T] = 0\) para \(n > 1\) 
 \(\operatorname{var}(T) = \frac{n}{n-2}\) para \(n > 2\) 
 Caso particular: \(t_1 \sim \text{Cauchy}(0,1)\) (varianza infinita) 
 Cuando \(n \to \infty\), \(t_n \xrightarrow{D} N(0,1)\) 
 

 
 Derivación de la densidad t (resumida) 
Usando la transformación \((T, U) = \left( \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}, Y \right)\) con Jacobiano \(|J| = \sqrt{u/n}\).
 
Integrando sobre \(u\) se obtiene la forma cerrada de la densidad.
 

 
 ¿Por qué la t tiene colas más pesadas que la normal? 
Porque \(Y\) (la chi-cuadrada en el denominador) introduce variabilidad adicional. Para grados de libertad pequeños, hay una probabilidad no despreciable de obtener valores pequeños de \(Y\), lo que hace que \(T\) sea más grande en magnitud.
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 12, ej. 2b) Usando la definición \(T=Z/\sqrt{Y/n}\) con \(Z\sim N(0,1)\) y \(Y\sim\chi^2_n\) independientes, derive \(\operatorname{var}(T)=\dfrac{n}{n-2}\) para \(n>2\). 
Como \(\mathbb{E}[T]=0\) (por simetría e independencia), \(\operatorname{var}(T)=\mathbb{E}[T^2]\):
\[
\mathbb{E}[T^2] = \mathbb{E}\left[\frac{Z^2}{Y/n}\right] = \mathbb{E}[Z^2]\cdot n\,\mathbb{E}\left[\frac{1}{Y}\right] = 1\cdot n\,\mathbb{E}[Y^{-1}]
\]
(usamos independencia de \(Z\) y \(Y\), y \(\mathbb{E}[Z^2]=1\)). Como \(Y\sim\chi^2_n=\text{Gamma}(\alpha=n/2,\beta=2)\), usamos la fórmula general de momentos de la Gamma \(\mathbb{E}[Y^r]=\beta^r\Gamma(\alpha+r)/\Gamma(\alpha)\) (vista en el capítulo de FGM) con \(r=-1\) (válida si \(\alpha>1\), es decir \(n>2\)):
\[
\mathbb{E}[Y^{-1}] = \frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(n/2-1)}{\Gamma(n/2)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n/2-1} = \frac{1}{n-2}.
\]
Sustituyendo:
\[
\operatorname{var}(T) = n\cdot\frac{1}{n-2} = \frac{n}{n-2}.
\]
Esto confirma la fórmula, y explica por qué se requiere \(n>2\): para \(n\le2\), \(\mathbb{E}[Y^{-1}]\) diverge.