Distribución t de Student
La distribución t de Student con \(n\) grados de libertad se define como:
\[
T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}, \quad \text{donde } Z \sim N(0,1),\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes}
\]
Su densidad es:
\[
f_T(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, \quad t \in \mathbb{R}
\]
Comparativa: t-Student vs Normal
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Propiedades de la distribución t:
- Simétrica alrededor de 0 (colas más pesadas que la normal)
- \(\mathbb{E}[T] = 0\) para \(n > 1\)
- \(\operatorname{var}(T) = \frac{n}{n-2}\) para \(n > 2\)
- Caso particular: \(t_1 \sim \text{Cauchy}(0,1)\) (varianza infinita)
- Cuando \(n \to \infty\), \(t_n \xrightarrow{D} N(0,1)\)
Derivación de la densidad t (resumida)
Usando la transformación \((T, U) = \left( \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}, Y \right)\) con Jacobiano \(|J| = \sqrt{u/n}\).Integrando sobre \(u\) se obtiene la forma cerrada de la densidad.