Distribución Normal Bivariada
La distribución normal bivariada es la generalización natural de la normal univariada a dos dimensiones. Su función de densidad es:
\[
f(x_1, x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right) + \left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right]\right\}
\]
Visualización interactiva de la normal bivariada
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Interpretación geométrica: El exponente es una forma cuadrática que define elipses. \[ Q(x_1, x_2) = \frac{1}{1-\rho^2}\left[\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right) + \left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right] \] Las curvas de nivel (donde \(f\) es constante) son elipses centradas en \((\mu_1, \mu_2)\).
Demostración: la normal bivariada tiene marginales normales
Para obtener \(f_1(x_1)\), integramos respecto a \(x_2\): \[ f_1(x_1) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, x_2) dx_2 \] Con el cambio de variable \(z_i = \frac{x_i - \mu_i}{\sigma_i}\) y completando cuadrados: \[ f_1(x_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{1}{2}z_1^2} \cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{z_2 - \rho z_1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)^2} dz_2}_{=1} \] Por lo tanto, \(X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\). Análogamente para \(X_2\).¿Qué pasa con la densidad cuando ρ = 0?
Cuando ρ = 0, la densidad se factoriza: \[ f(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2} = f_1(x_1)f_2(x_2) \] Esto significa que \(X_1\) y \(X_2\) son independientes. En la normal bivariada, correlación cero ⇔ independencia.Ejemplo del PDF: Para \(X_1 \sim N(0,1)\), \(X_2 \sim N(2,4)\) con \(\rho = 0.5\):
La densidad conjunta es \(f(x_1, x_2) = \frac{1}{2\pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sqrt{1-0.25}} \exp\{-\frac{1}{2(0.75)}[x_1^2 - 2(0.5)x_1(\frac{x_2-2}{2}) + (\frac{x_2-2}{2})^2]\}\)
Las marginales: \(X_1 \sim N(0,1)\), \(X_2 \sim N(2,4)\).