Distribución Multinomial General

La distribución multinomial generaliza la trinomial a \(k\) categorías.
\[
\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_k) \sim \text{Multinomial}(n, p_1, \ldots, p_k)
\]
con \(\sum_{i=1}^k p_i = 1\) y \(\sum_{i=1}^k X_i = n\).
 

 Función de masa de probabilidad conjunta: 
\[
f_{\mathbf{X}}(x_1, \ldots, x_k) = \binom{n}{x_1 \cdots x_k} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \cdot \mathbb{1}_{\{x_i \in \mathbb{N}_0, \sum x_i = n\}}
\]
donde \(\binom{n}{x_1 \cdots x_k} = \frac{n!}{x_1! \cdots x_k!}\) es el coeficiente multinomial . 

 
 Verificación de que es una f.m.p. propia 
Por el teorema multinomial :
\[
(p_1 + \cdots + p_k)^n = \sum_{\{x_i: \sum x_i = n\}} \binom{n}{x_1 \cdots x_k} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
\]
Como \(p_1 + \cdots + p_k = 1\), la suma es 1, verificando que la probabilidad total es 1.
 

 
 Explora la Multinomial con k=4 categorías 
 
 n (ensayos): 
 
 30 
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 Propiedades fundamentales: 
 
 Distribución marginal: \(X_i \sim \text{Bin}(n, p_i)\) 
 \(\mathbb{E}[X_i] = n p_i\) 
 \(\operatorname{var}(X_i) = n p_i (1-p_i)\) 
 \(\operatorname{cov}(X_i, X_j) = -n p_i p_j\) (para \(i \neq j\)) 
 \(\operatorname{corr}(X_i, X_j) = -\sqrt{\frac{p_i p_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}\) 
 

 
 ¿Por qué la covarianza entre dos categorías es negativa? 
 Demostración: Sea \(X_i = \sum_{u=1}^n \mathbb{1}_{C_i}(e_u)\). Para \(u = v\), \(\text{cov}(\mathbb{1}_{C_i}(e_u), \mathbb{1}_{C_j}(e_u)) = \mathbb{E}[\mathbb{1}_{C_i}\mathbb{1}_{C_j}] - p_i p_j = -p_i p_j\) porque el producto es 0 (categorías excluyentes). Para \(u \neq v\), por independencia, la covarianza es 0. Entonces \(\text{cov}(X_i, X_j) = \sum_{u=1}^n (-p_i p_j) = -n p_i p_j\).
 

 Ejemplo numérico (del PDF): Para \(X \sim \text{Multinomial}(n=100, p_1=0.3, p_2=0.2, p_3=0.5)\): 
\(\mathbb{E}[X_1] = 100 \cdot 0.3 = 30\) 
\(\operatorname{var}(X_1) = 100 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 21\) 
\(\operatorname{cov}(X_1, X_2) = -100 \cdot 0.3 \cdot 0.2 = -6\) 
\(\operatorname{corr}(X_1, X_2) = \frac{-6}{\sqrt{21 \cdot 100 \cdot 0.2 \cdot 0.8}} = \frac{-6}{\sqrt{21 \cdot 16}} = \frac{-6}{\sqrt{336}} \approx -0.327\) 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 8, ej. 2) Tres monedas honestas se lanzan 10 veces. Sea \(X_i\) el número de veces que se obtuvieron \(i\) águilas, \(i=0,1,2,3\) (note que \(X_0+X_1+X_2+X_3=10\)). Calcule \(\mathbb{P}(X_0+X_1=6)\). 
En cada uno de los 10 lanzamientos de las 3 monedas, el número de águilas sigue \(\text{Bin}(3,0.5)\), así que las probabilidades de categoría son \(p_i=\binom{3}{i}(0.5)^3\): \(p_0=1/8\), \(p_1=3/8\), \(p_2=3/8\), \(p_3=1/8\).
 
Usando la propiedad marginal de la multinomial (agrupar categorías también da una multinomial): la categoría "0 o 1 águilas" tiene probabilidad \(p_0+p_1=1/8+3/8=1/2\), y por lo tanto \(X_0+X_1\sim\text{Bin}(10, 1/2)\):
\[
\mathbb{P}(X_0+X_1=6) = \binom{10}{6}(0.5)^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051.
\]
Esto ilustra que agrupar categorías de una multinomial siempre produce otra multinomial (o binomial, si solo quedan dos grupos) sobre las probabilidades sumadas — la misma propiedad marginal \(X_i\sim\text{Bin}(n,p_i)\) mencionada arriba, aplicada a un grupo de categorías en vez de una sola.