La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como: \[ W = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n}, \quad \text{donde } X \sim \chi^2_m,\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes} \] Su densidad es: \[ f_W(w) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{m/2} \frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\frac{m}{n}w\right)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad w > 0 \]

#### Explora la distribución F

Grados de libertad m (numerador):5Grados de libertad n (denominador):10

**Propiedades de la distribución F:** - Si \\(T \\sim t\_n\\) (t-Student), entonces \\(T^2 \\sim F\_{1,n}\\) - \\(W^{-1} \\sim F\_{n,m}\\) (recíproca) - \\(\\mathbb{E}\[W\] = \\frac{n}{n-2}\\) para \\(n > 2\\) - \\(\\operatorname{var}(W) = \\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\\) para \\(n > 4\\) - Percentiles: \\(F(p; m, n) = \\frac{1}{F(1-p; n, m)}\\)

Relación con la t-Student

Si \\(T \\sim t\_n\\), entonces \\(T^2 = \\frac{Z^2}{\\chi^2\_n/n}\\). Como \\(Z^2 \\sim \\chi^2\_1\\), tenemos \\(T^2 \\sim \\frac{\\chi^2\_1}{\\chi^2\_n/n} = \\frac{\\chi^2\_1/1}{\\chi^2\_n/n} \\sim F\_{1,n}\\). Por lo tanto, ¡el cuadrado de una t-Student sigue una F con (1, n) grados de libertad!

**Ejemplo de aplicación:** En ANOVA, la estadística \\(F = \\frac{\\text{MSB}}{\\text{MSW}}\\) sigue una distribución \\(F\_{k-1, N-k}\\) bajo la hipótesis nula. Para \\(m=3, n=12\\), el valor crítico al 95% es aproximadamente 3.49.

**¿Qué le pasa a la distribución F cuando m y n crecen?**

Cuando \\(n \\to \\infty\\), \\(F\_{m,n}\\) converge a \\(\\chi^2\_m/m\\) (una chi-cuadrada escalada). Cuando \\(m \\to \\infty\\), el comportamiento es similar. En la práctica, para grados de libertad grandes (>100), la distribución F se aproxima a una normal.

## Ejercicio

Usando la propiedad de reciprocidad \\(W^{-1}\\sim F\_{n,m}\\) (mencionada arriba), derive la relación de percentiles \\(F(p;m,n) = 1/F(1-p;n,m)\\).

Por definición, \\(F(p;m,n)\\) es el valor tal que \\(\\mathbb{P}(W\\le F(p;m,n))=p\\), donde \\(W\\sim F\_{m,n}\\). Esta desigualdad es equivalente a: \\\[ \\mathbb{P}(W\\le F(p;m,n)) = \\mathbb{P}\\!\\left(\\frac{1}{W}\\ge \\frac{1}{F(p;m,n)}\\right) = p, \\\] es decir, \\\[ \\mathbb{P}\\!\\left(\\frac{1}{W} < \\frac{1}{F(p;m,n)}\\right) = 1-p. \\\] Pero por la propiedad de reciprocidad, \\(1/W\\sim F\_{n,m}\\). Por definición de percentil aplicada a \\(1/W\\), el valor \\(v\\) tal que \\(\\mathbb{P}(1/W\\le v)=1-p\\) es exactamente \\(v=F(1-p;n,m)\\). Comparando ambas expresiones: \\\[ F(1-p;n,m) = \\frac{1}{F(p;m,n)} \\quad\\Longleftrightarrow\\quad F(p;m,n) = \\frac{1}{F(1-p;n,m)}. \\\] Esta identidad es la razón práctica por la que las tablas de la distribución F solo publican percentiles altos (como 0.95 o 0.99): los percentiles bajos se obtienen invirtiendo y cambiando el orden de los grados de libertad.