Distribución F (Fisher-Snedecor)
La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como:
\[
W = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n}, \quad \text{donde } X \sim \chi^2_m,\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes}
\]
Su densidad es:
\[
f_W(w) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{m/2} \frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\frac{m}{n}w\right)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad w > 0
\]
Explora la distribución F
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Propiedades de la distribución F:
- Si \(T \sim t_n\) (t-Student), entonces \(T^2 \sim F_{1,n}\)
- \(W^{-1} \sim F_{n,m}\) (recíproca)
- \(\mathbb{E}[W] = \frac{n}{n-2}\) para \(n > 2\)
- \(\operatorname{var}(W) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\) para \(n > 4\)
- Percentiles: \(F(p; m, n) = \frac{1}{F(1-p; n, m)}\)
Relación con la t-Student
Si \(T \sim t_n\), entonces \(T^2 = \frac{Z^2}{\chi^2_n/n}\).Como \(Z^2 \sim \chi^2_1\), tenemos \(T^2 \sim \frac{\chi^2_1}{\chi^2_n/n} = \frac{\chi^2_1/1}{\chi^2_n/n} \sim F_{1,n}\).
Por lo tanto, ¡el cuadrado de una t-Student sigue una F con (1, n) grados de libertad!
Ejemplo de aplicación: En ANOVA, la estadística \(F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}\) sigue una distribución \(F_{k-1, N-k}\) bajo la hipótesis nula.
Para \(m=3, n=12\), el valor crítico al 95% es aproximadamente 3.49.