Desigualdad de Markov

Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\). Entonces, para todo \(c > 0\):
\[
\mathbb{P}(X \ge c) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{c} = \frac{\mu_X}{c}
\]
 

 
 Verificación interactiva 
 
 Distribución: 
 
 Exponencial(λ=1) 
 Uniforme(0,θ) 
 Gamma(α=2, β=1) 
 
 c (umbral): 
 
 2.0 
 Verificar 
 
 
 

 
 Demostración (caso continuo) 
\[
\begin{align*}
\mu_X &= \int_0^\infty x f(x) dx \ge \int_c^\infty x f(x) dx \ge c \int_c^\infty f(x) dx = c \cdot \mathbb{P}(X \ge c)
\end{align*}
\]
Por lo tanto, \(\mathbb{P}(X \ge c) \le \mu_X / c\).
 

 Ejemplo: Si el tiempo medio de reparación es 6.2 horas, ¿cuál es la probabilidad de que una reparación tome más de 22.5 horas? 
 Solución (Markov): \(\mathbb{P}(X \ge 22.5) \le \frac{6.2}{22.5} \approx 0.2756\) 
La cota es débil, pero Chebyshev unilateral dará una mejor estimación. 

 
 ¿Por qué Markov solo funciona para variables no negativas? 
La demostración usa que \(x \ge c\) dentro de la integral \(\int_c^\infty\). Si \(X\) pudiera tomar valores negativos, la desigualdad no se cumpliría (por ejemplo, una normal con media 0 daría \(\mathbb{P}(X \ge c) > 0\) pero el lado derecho sería 0).
 

 Ejercicio 

 
 El tiempo de espera en una fila (una variable no negativa) tiene media 8 minutos. Acote \(\mathbb{P}(X\ge20)\) usando la desigualdad de Markov. 
Aplicando directamente la desigualdad con \(\mu_X=8\), \(c=20\):
\[
\mathbb{P}(X\ge20) \le \frac{8}{20} = 0.4.
\]
Es decir, sin importar la forma exacta de la distribución del tiempo de espera, sabemos que hay a lo sumo 40% de probabilidad de esperar 20 minutos o más.