La **descomposición espectral** de \(\boldsymbol{\Sigma}\) es: \[ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{Q} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{Q}^T \] donde \(\mathbf{Q}\) es ortogonal (\(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \mathbf{I}\)) y \(\boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p)\).

**Teorema:** Si \\(\\mathbf{X} \\sim N\_p(\\boldsymbol{\\mu}, \\boldsymbol{\\Sigma})\\) y \\(\\mathbf{Y} = \\mathbf{Q}^T \\mathbf{X}\\), entonces \\\[ \\mathbf{Y} \\sim N\_p(\\mathbf{Q}^T\\boldsymbol{\\mu}, \\boldsymbol{\\Lambda}) \\\] Es decir, las componentes de \\(\\mathbf{Y}\\) son **independientes** y \\(\\text{var}(Y\_i) = \\lambda\_i\\).

#### Ejemplo del PDF: Vector 5-dimensional \\(\\mathbf{X} \\sim N\_5(\\boldsymbol{\\mu}, \\boldsymbol{\\Sigma})\\) con:

**μ =** [0, 1, -1, 2, 0]ᵀ **Σ =** ⎡ 1 0 -1 1 0 ⎤ ⎢ 0 2 -1 0 1 ⎥ ⎢-1 -1 3 -1 0 ⎥ ⎢ 1 0 -1 4 1 ⎥ ⎣ 0 1 0 1 5 ⎦

Ejemplo resuelto (del PDF)

a) \\(X\_5 \\sim N(0,5)\\) (marginal) b) \\(\\text{cov}(X\_1, X\_4) = 1\\), \\(\\rho\_{14} = \\frac{1}{\\sqrt{1\\cdot4}} = 0.5\\) c) \\(\\begin{pmatrix}X\_3 \\\\ X\_2\\end{pmatrix} \\sim N\_2\\left(\\begin{pmatrix}-1 \\\\ 1\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ -1 & 2\\end{pmatrix}\\right)\\) d) \\(\\text{cov}(X\_2, X\_4) = 0\\) ⇒ independientes (por normalidad) e) \\((X\_4|X\_1=-2) \\sim N(0, 4(1-0.5^2)) = N(0,3)\\) f) \\(\\mathbb{P}(X\_4 - X\_2 > 0) = \\Phi(1/\\sqrt{6}) \\approx 0.6584\\)

**Variación total y proporciones acumuladas:** \\(\\text{vartot}(\\mathbf{X}) = \\text{tr}(\\boldsymbol{\\Sigma}) = 1+2+3+4+5 = 15\\) Valores propios (del cálculo R en el PDF): λ = \[5.423, 5.064, 2.869, 1.247, 0.397\] δ₁ = 5.423/15 = 0.3615, δ₂ = 0.3376, δ₃ = 0.1913, δ₄ = 0.0831, δ₅ = 0.0265 Proporciones acumuladas: 0.362, 0.699, 0.890, 0.974, 1.000 ¡Las primeras 3 componentes explican el 89% de la variación total!

**¿Para qué sirve la descomposición espectral?**

Es la base del **Análisis de Componentes Principales (PCA)**. Permite reducir la dimensionalidad: en lugar de trabajar con las p variables originales (correlacionadas), trabajamos con las primeras k componentes (independientes) que explican la mayor parte de la variación.

## Ejercicio

Sea \\(\\mathbf{X}\\sim N\_2(\\boldsymbol{\\mu}, \\boldsymbol{\\Sigma})\\) con \\(\\boldsymbol{\\Sigma}=\\begin{pmatrix}4 & 2\\\\ 2 & 4\\end{pmatrix}\\). Encuentre la descomposición espectral (eigenvalores y eigenvectores) y determine qué proporción de la variación total explica la primera componente principal.

Los eigenvalores satisfacen \\(\\det(\\boldsymbol{\\Sigma}-\\lambda I)=0\\): \\\[ (4-\\lambda)^2 - 4 = 0 \\implies 4-\\lambda = \\pm2 \\implies \\lambda\_1=6,\\ \\lambda\_2=2. \\\] Para \\(\\lambda\_1=6\\): \\((4-6)v\_1+2v\_2=0 \\implies v\_1=v\_2\\), eigenvector normalizado \\(\\frac{1}{\\sqrt2}(1,1)^T\\). Para \\(\\lambda\_2=2\\): \\((4-2)v\_1+2v\_2=0 \\implies v\_1=-v\_2\\), eigenvector normalizado \\(\\frac{1}{\\sqrt2}(1,-1)^T\\). Verificación: \\(\\text{vartot}(\\mathbf{X})=\\text{tr}(\\boldsymbol{\\Sigma})=4+4=8=\\lambda\_1+\\lambda\_2=6+2\\). ✓ La primera componente principal (asociada a \\(\\lambda\_1=6\\)) explica: \\\[ \\frac{\\lambda\_1}{\\lambda\_1+\\lambda\_2} = \\frac{6}{8} = 0.75, \\\] es decir, el 75% de la variación total — con una sola componente (en vez de las 2 variables originales, correlacionadas con \\(\\rho=2/4=0.5\\)) capturamos la mayor parte de la información.