Suma y cociente de variables y vectores aleatorios

Suma de Variables Aleatorias - Convolución
Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la convolución :
\[
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx = (f_X * f_Y)(z)
\]
En el caso discreto:
\[
f_{X+Y}(z) = \sum_{x} f_X(x) f_Y(z-x)
\]
 

 
 Simulador: Suma de dos uniformes independientes en (0,1) 
 
 Generar muestra de X+Y 
 
 
 
 

 
 Derivación de la convolución 
\[
\begin{align*}
F_Z(z) &= \mathbb{P}(X+Y \le z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f_X(x)f_Y(y) dy dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) F_Y(z-x) dx \\
f_Z(z) &= \frac{d}{dz} F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
\end{align*}
\]
 

 Ejemplo del PDF: Suma de dos Uniformes(0,1) 
\[
f_Z(z) = \begin{cases}
z & 0 \le z < 1 \\
2-z & 1 \le z \le 2 \\
0 & \text{otro caso}
\end{cases}
\]
Esta es la distribución triangular (Irwin-Hall con n=2). 

 
 ¿Qué forma tiene la suma de tres uniformes independientes? 
La suma de tres uniformes (Irwin-Hall con n=3) tiene una densidad formada por tres segmentos de parábola:
\[
f_Z(z) = \begin{cases}
\frac{1}{2}z^2 & 0 \le z < 1 \\
\frac{1}{2}(-2z^2 + 6z - 3) & 1 \le z < 2 \\
\frac{1}{2}(3-z)^2 & 2 \le z \le 3
\end{cases}
\]
En general, la suma de \(n\) uniformes se aproxima a una normal por el TCL.
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 1) Sea \(a\) una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes, ambas con distribución uniforme en el intervalo \((a-1/2,a+1/2)\), tiene función de densidad \(f(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\). 
Sean \(X,Y\sim\text{Unif}(a-1/2,a+1/2)\) independientes, y \(U=X-Y\). La constante \(a\) se cancela por traslación: si \(X'=X-a\), \(Y'=Y-a\), entonces \(X',Y'\sim\text{Unif}(-1/2,1/2)\) y \(U=X'-Y'\), así que basta considerar \(a=0\).
 
Usando la fórmula de convolución para la diferencia, \(f_U(u)=\int f_X(x)f_Y(x-u)\,dx\), con \(f_X=f_Y=\mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}\):
\[
f_U(u) = \int_{-1/2}^{1/2} \mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}(x-u)\,dx = \text{longitud de } (-1/2,1/2)\cap(u-1/2,u+1/2).
\]
Para \(0\le u<1\), esta intersección es el intervalo \((u-1/2,\,1/2)\), de longitud \(1-u\). Por simetría (\(f_U\) es par, ya que \(X-Y\) y \(Y-X\) tienen la misma distribución), para \(-1<u\le0\) la longitud es \(1+u\). En ambos casos, \(f_U(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\).

Suma de Gammas y Propiedades de la Convolución
La convolución es una operación entre funciones que es:
 
 Conmutativa: \(f_X * f_Y = f_Y * f_X\) 
 Asociativa: \(f_X * (f_Y * f_Z) = (f_X * f_Y) * f_Z\) 
 
 

 
 Visualización: Suma de dos variables Gamma 
 
 α₁ (forma 1): 
 
 2.0 
 α₂ (forma 2): 
 
 3.0 
 β (escala común): 
 
 1.0 
 
 
 
 

 
 Demostración: Suma de Gammas independientes 
Si \(X \sim \text{Gamma}(\alpha_1, \beta)\) e \(Y \sim \text{Gamma}(\alpha_2, \beta)\) independientes:
\[
\begin{align*}
f_Z(z) &= \int_0^z \frac{x^{\alpha_1-1}e^{-x/\beta}}{\beta^{\alpha_1}\Gamma(\alpha_1)} \cdot \frac{(z-x)^{\alpha_2-1}e^{-(z-x)/\beta}}{\beta^{\alpha_2}\Gamma(\alpha_2)} dx \\
&= \frac{e^{-z/\beta}}{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)} \int_0^z x^{\alpha_1-1}(z-x)^{\alpha_2-1} dx \\
&= \frac{e^{-z/\beta} z^{\alpha_1+\alpha_2-1}}{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}
\end{align*}
\]
¡Por lo tanto, \(X+Y \sim \text{Gamma}(\alpha_1+\alpha_2, \beta)\)!
 

 Corolario importante: 
Si \(X_1, \ldots, X_n\) son i.i.d. \(\text{Exp}(\lambda)\) (Gamma(1, 1/λ)), entonces
\[
\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, 1/\lambda)
\]
La suma de exponenciales independientes sigue una distribución Gamma. 

 Ejercicio 

 
 El tiempo de vida de un componente electrónico es \(\text{Exp}(\lambda=0.5)\) (media 2 años). Un sistema usa 4 componentes idénticos e independientes, reemplazando cada uno al fallar (redundancia en espera, "standby"). Encuentre la distribución del tiempo total de vida del sistema \(T\), y calcule \(\mathbb{P}(T>10)\). 
Por el corolario, \(T=\sum_{i=1}^4 X_i \sim \text{Gamma}(n=4, \beta=1/\lambda=2)\).
 
Para calcular \(\mathbb{P}(T>10)\) usamos la relación Gamma–Poisson (válida cuando el parámetro de forma es un entero \(n\)): si \(T\sim\text{Gamma}(n,\beta)\), entonces
\[
\mathbb{P}(T>t) = \mathbb{P}\left(\text{Poisson}\left(\frac{t}{\beta}\right) \le n-1\right).
\]
Con \(t=10\), \(\beta=2\): \(t/\beta=5\), y necesitamos \(\mathbb{P}(\text{Poisson}(5)\le3)\):
\[
\mathbb{P}(T>10) = e^{-5}\left(1+5+\frac{5^2}{2!}+\frac{5^3}{3!}\right) = e^{-5}(1+5+12.5+20.833) \approx 0.2650.
\]
Es decir, hay aproximadamente 26.5% de probabilidad de que el sistema siga funcionando después de 10 años.

Cociente de Variables Aleatorias
Para el cociente \(Z = Y/X\), la densidad está dada por:
\[
f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_{X,Y}(x, xz) dx
\]
Si \(X\) y \(Y\) son independientes:
\[
f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) f_Y(xz) dx
\]
 

 
 Ejemplo clásico: Cociente de dos normales estándar 
 
 Generar muestra de Y/X 
 
 
 
 

 
 Derivación de la fórmula para el cociente 
\[
\begin{align*}
F_Z(z) &= \iint_{\{y/x \le z\}} f_X(x)f_Y(y) dx dy \\
&= \int_{-\infty}^0 \int_{zx}^{\infty} f_X(x)f_Y(y) dy dx + \int_0^{\infty} \int_{-\infty}^{zx} f_X(x)f_Y(y) dy dx
\end{align*}
\]
Diferenciando bajo el signo integral:
\[
f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^0 (-x)f_X(x)f_Y(zx) dx + \int_0^{\infty} x f_X(x)f_Y(zx) dx = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) f_Y(zx) dx
\]
 

 Ejemplo del PDF: Cociente de normales estándar 
Sean \(X, Y \sim N(0,1)\) i.i.d. Entonces:
\[
f_{Y/X}(z) = \frac{1}{\pi(1+z^2)}
\]
¡Es la distribución Cauchy(0,1) ! Tiene colas pesadas y varianza infinita. 

 
 ¿Qué distribución tiene el cociente de dos exponenciales independientes? 
Si \(X, Y \sim \text{Exp}(\lambda)\) independientes, entonces:
\[
f_{Y/X}(z) = \frac{1}{(1+z)^2}, \quad z > 0
\]
¡Es una distribución \(F_{2,2}\)! El cociente de exponenciales sigue una distribución F con (2,2) grados de libertad.
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 2) Sea \(X=(X_1,X_2)\) con f.d.p. conjunta \(f(x_1,x_2)=\dfrac{1}{x_1^2x_2^2}\mathbb{1}_{(1,\infty)}(x_1)\mathbb{1}_{(1,\infty)}(x_2)\). Encuentre la f.d.p. de \(X_1/X_2\). 
Sea \(Z=X_1/X_2\). Usando la fórmula del cociente con \(x_1=zx_2\):
\[
f_Z(z) = \int x_2\,f(zx_2,\,x_2)\,dx_2 = \int_{x_2 > \max(1,\,1/z)} x_2\cdot\frac{1}{(zx_2)^2x_2^2}\,dx_2 = \frac{1}{z^2}\int_{\max(1,1/z)}^{\infty} x_2^{-3}\,dx_2,
\]
(la restricción \(x_2>\max(1,1/z)\) viene de necesitar \(x_2>1\) y \(zx_2>1\) simultáneamente). Usando \(\int_a^\infty x_2^{-3}dx_2 = \frac{1}{2a^2}\):
\[
f_Z(z) = \frac{1}{2z^2 \cdot \max(1,1/z)^2}.
\]
Separando casos: para \(z\ge1\) (donde \(\max(1,1/z)=1\)): \(f_Z(z)=\dfrac{1}{2z^2}\). Para \(0<z<1\) (donde \(\max(1,1/z)=1/z\)): \(f_Z(z)=\dfrac{1}{2z^2\cdot(1/z^2)}=\dfrac12\). Se puede verificar que integra a 1: \(\int_0^1\frac12dz+\int_1^\infty\frac{1}{2z^2}dz=\frac12+\frac12=1\). ✓

Distribución F (Fisher-Snedecor)
La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como:
\[
W = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n}, \quad \text{donde } X \sim \chi^2_m,\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes}
\]
Su densidad es:
\[
f_W(w) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{m/2} \frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\frac{m}{n}w\right)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad w > 0
\]
 

 
 Explora la distribución F 
 
 Grados de libertad m (numerador): 
 
 5 
 Grados de libertad n (denominador): 
 
 10 
 
 
 
 

 Propiedades de la distribución F: 
 
 Si \(T \sim t_n\) (t-Student), entonces \(T^2 \sim F_{1,n}\) 
 \(W^{-1} \sim F_{n,m}\) (recíproca) 
 \(\mathbb{E}[W] = \frac{n}{n-2}\) para \(n > 2\) 
 \(\operatorname{var}(W) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\) para \(n > 4\) 
 Percentiles: \(F(p; m, n) = \frac{1}{F(1-p; n, m)}\) 
 

 
 Relación con la t-Student 
Si \(T \sim t_n\), entonces \(T^2 = \frac{Z^2}{\chi^2_n/n}\).
 
Como \(Z^2 \sim \chi^2_1\), tenemos \(T^2 \sim \frac{\chi^2_1}{\chi^2_n/n} = \frac{\chi^2_1/1}{\chi^2_n/n} \sim F_{1,n}\).
 
Por lo tanto, ¡el cuadrado de una t-Student sigue una F con (1, n) grados de libertad!
 

 Ejemplo de aplicación: En ANOVA, la estadística \(F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}\) sigue una distribución \(F_{k-1, N-k}\) bajo la hipótesis nula. 
Para \(m=3, n=12\), el valor crítico al 95% es aproximadamente 3.49. 

 
 ¿Qué le pasa a la distribución F cuando m y n crecen? 
Cuando \(n \to \infty\), \(F_{m,n}\) converge a \(\chi^2_m/m\) (una chi-cuadrada escalada). Cuando \(m \to \infty\), el comportamiento es similar. En la práctica, para grados de libertad grandes (>100), la distribución F se aproxima a una normal.
 

 Ejercicio 

 
 Usando la propiedad de reciprocidad \(W^{-1}\sim F_{n,m}\) (mencionada arriba), derive la relación de percentiles \(F(p;m,n) = 1/F(1-p;n,m)\). 
Por definición, \(F(p;m,n)\) es el valor tal que \(\mathbb{P}(W\le F(p;m,n))=p\), donde \(W\sim F_{m,n}\). Esta desigualdad es equivalente a:
\[
\mathbb{P}(W\le F(p;m,n)) = \mathbb{P}\!\left(\frac{1}{W}\ge \frac{1}{F(p;m,n)}\right) = p,
\]
es decir,
\[
\mathbb{P}\!\left(\frac{1}{W} < \frac{1}{F(p;m,n)}\right) = 1-p.
\]
Pero por la propiedad de reciprocidad, \(1/W\sim F_{n,m}\). Por definición de percentil aplicada a \(1/W\), el valor \(v\) tal que \(\mathbb{P}(1/W\le v)=1-p\) es exactamente \(v=F(1-p;n,m)\). Comparando ambas expresiones:
\[
F(1-p;n,m) = \frac{1}{F(p;m,n)} \quad\Longleftrightarrow\quad F(p;m,n) = \frac{1}{F(1-p;n,m)}.
\]
Esta identidad es la razón práctica por la que las tablas de la distribución F solo publican percentiles altos (como 0.95 o 0.99): los percentiles bajos se obtienen invirtiendo y cambiando el orden de los grados de libertad.

Aplicaciones: Cociente de Chi-cuadradas
Sean \(X \sim \chi^2_m\) e \(Y \sim \chi^2_n\) independientes. Entonces:
\[
Z = \frac{X}{Y} \text{ tiene densidad } f_Z(z) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{z^{\frac{m}{2}-1}}{(1+z)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad z > 0
\]
Esta es la base de la distribución \(F\).
 

 
 Simulador: Cociente de Chi-cuadradas vs F 
 
 m (numerador): 
 
 3 
 n (denominador): 
 
 6 
 Generar muestra 
 
 
 
 

 Relación entre F y Beta: 
Si \(W \sim F_{m,n}\), entonces:
\[
\frac{\frac{m}{n}W}{1+\frac{m}{n}W} \sim \text{Beta}\left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)
\]
Esta transformación es útil para calcular percentiles de la distribución F. 

 
 ¿Para qué se usa la distribución F en estadística? 
La distribución F es fundamental en:
 
 ANOVA (comparación de medias de múltiples grupos) 
 Prueba de igualdad de varianzas (prueba F) 
 Pruebas de significancia global en regresión lineal 
 Comparación de modelos anidados 
 
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 11, ej. 2 — adaptado) Sean \(X_1,X_2\) variables aleatorias independientes con \(X_i\sim\text{Gamma}(\alpha_i,\lambda)\) (mismo parámetro de tasa \(\lambda\)). Encuentre la f.d.p. de \(W=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}\), y explique su relación con la distribución F de esta página. 
Sea \(S=X_1+X_2\), de modo que \(X_1=WS\), \(X_2=S(1-W)\). El jacobiano de \((x_1,x_2)\to(w,s)\) es \(|J|=s\). La densidad conjunta (por independencia) es:
\[
f(x_1,x_2) = \frac{\lambda^{\alpha_1}x_1^{\alpha_1-1}e^{-\lambda x_1}}{\Gamma(\alpha_1)}\cdot\frac{\lambda^{\alpha_2}x_2^{\alpha_2-1}e^{-\lambda x_2}}{\Gamma(\alpha_2)}.
\]
Sustituyendo \(x_1=ws\), \(x_2=s(1-w)\), y multiplicando por \(|J|=s\):
\[
f(w,s) = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}\, s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}, \quad 0<w<1,\ s>0.
\]
¡La densidad se factoriza en una parte que depende solo de \(w\) y otra solo de \(s\)! Integrando sobre \(s\) (usando \(\int_0^\infty s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}ds=\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)/\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}\)):
\[
f_W(w) = \frac{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}, \quad 0<w<1,
\]
que es exactamente la densidad de una \(\text{Beta}(\alpha_1,\alpha_2)\). Esta es la versión más fundamental de la relación F–Beta de esta página: cuando \(\alpha_1=m/2\), \(\alpha_2=n/2\) (es decir, \(X_1,X_2\) son chi-cuadradas), \(W=X_1/(X_1+X_2)\) coincide exactamente con la transformación \(\frac{(m/n)W_F}{1+(m/n)W_F}\) de una \(F_{m,n}\), confirmando por qué esa combinación resulta Beta.