Suma y cociente de variables y vectores aleatorios

Suma de Variables Aleatorias - Convolución

Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la convolución: \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx = (f_X * f_Y)(z) \] En el caso discreto: \[ f_{X+Y}(z) = \sum_{x} f_X(x) f_Y(z-x) \]

Simulador: Suma de dos uniformes independientes en (0,1)

Derivación de la convolución \[ \begin{align*} F_Z(z) &= \mathbb{P}(X+Y \le z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f_X(x)f_Y(y) dy dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) F_Y(z-x) dx \\ f_Z(z) &= \frac{d}{dz} F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx \end{align*} \]

Ejemplo del PDF: Suma de dos Uniformes(0,1) \[ f_Z(z) = \begin{cases} z & 0 \le z < 1 \\ 2-z & 1 \le z \le 2 \\ 0 & \text{otro caso} \end{cases} \] Esta es la distribución triangular (Irwin-Hall con n=2).

¿Qué forma tiene la suma de tres uniformes independientes? La suma de tres uniformes (Irwin-Hall con n=3) tiene una densidad formada por tres segmentos de parábola: \[ f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{2}z^2 & 0 \le z < 1 \\ \frac{1}{2}(-2z^2 + 6z - 3) & 1 \le z < 2 \\ \frac{1}{2}(3-z)^2 & 2 \le z \le 3 \end{cases} \] En general, la suma de \(n\) uniformes se aproxima a una normal por el TCL.

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 1) Sea \(a\) una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes, ambas con distribución uniforme en el intervalo \((a-1/2,a+1/2)\), tiene función de densidad \(f(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\). Sean \(X,Y\sim\text{Unif}(a-1/2,a+1/2)\) independientes, y \(U=X-Y\). La constante \(a\) se cancela por traslación: si \(X'=X-a\), \(Y'=Y-a\), entonces \(X',Y'\sim\text{Unif}(-1/2,1/2)\) y \(U=X'-Y'\), así que basta considerar \(a=0\).

Usando la fórmula de convolución para la diferencia, \(f_U(u)=\int f_X(x)f_Y(x-u)\,dx\), con \(f_X=f_Y=\mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}\): \[ f_U(u) = \int_{-1/2}^{1/2} \mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}(x-u)\,dx = \text{longitud de } (-1/2,1/2)\cap(u-1/2,u+1/2). \] Para \(0\le u<1\), esta intersección es el intervalo \((u-1/2,\,1/2)\), de longitud \(1-u\). Por simetría (\(f_U\) es par, ya que \(X-Y\) y \(Y-X\) tienen la misma distribución), para \(-1<u\le0\) la longitud es \(1+u\). En ambos casos, \(f_U(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\).

Suma de Gammas y Propiedades de la Convolución

La convolución es una operación entre funciones que es:
  • Conmutativa: \(f_X * f_Y = f_Y * f_X\)
  • Asociativa: \(f_X * (f_Y * f_Z) = (f_X * f_Y) * f_Z\)

Visualización: Suma de dos variables Gamma

2.0 3.0 1.0
Demostración: Suma de Gammas independientes Si \(X \sim \text{Gamma}(\alpha_1, \beta)\) e \(Y \sim \text{Gamma}(\alpha_2, \beta)\) independientes: \[ \begin{align*} f_Z(z) &= \int_0^z \frac{x^{\alpha_1-1}e^{-x/\beta}}{\beta^{\alpha_1}\Gamma(\alpha_1)} \cdot \frac{(z-x)^{\alpha_2-1}e^{-(z-x)/\beta}}{\beta^{\alpha_2}\Gamma(\alpha_2)} dx \\ &= \frac{e^{-z/\beta}}{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)} \int_0^z x^{\alpha_1-1}(z-x)^{\alpha_2-1} dx \\ &= \frac{e^{-z/\beta} z^{\alpha_1+\alpha_2-1}}{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)} \end{align*} \] ¡Por lo tanto, \(X+Y \sim \text{Gamma}(\alpha_1+\alpha_2, \beta)\)!

Corolario importante:
Si \(X_1, \ldots, X_n\) son i.i.d. \(\text{Exp}(\lambda)\) (Gamma(1, 1/λ)), entonces \[ \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, 1/\lambda) \] La suma de exponenciales independientes sigue una distribución Gamma.

Ejercicio

El tiempo de vida de un componente electrónico es \(\text{Exp}(\lambda=0.5)\) (media 2 años). Un sistema usa 4 componentes idénticos e independientes, reemplazando cada uno al fallar (redundancia en espera, "standby"). Encuentre la distribución del tiempo total de vida del sistema \(T\), y calcule \(\mathbb{P}(T>10)\). Por el corolario, \(T=\sum_{i=1}^4 X_i \sim \text{Gamma}(n=4, \beta=1/\lambda=2)\).

Para calcular \(\mathbb{P}(T>10)\) usamos la relación Gamma–Poisson (válida cuando el parámetro de forma es un entero \(n\)): si \(T\sim\text{Gamma}(n,\beta)\), entonces \[ \mathbb{P}(T>t) = \mathbb{P}\left(\text{Poisson}\left(\frac{t}{\beta}\right) \le n-1\right). \] Con \(t=10\), \(\beta=2\): \(t/\beta=5\), y necesitamos \(\mathbb{P}(\text{Poisson}(5)\le3)\): \[ \mathbb{P}(T>10) = e^{-5}\left(1+5+\frac{5^2}{2!}+\frac{5^3}{3!}\right) = e^{-5}(1+5+12.5+20.833) \approx 0.2650. \] Es decir, hay aproximadamente 26.5% de probabilidad de que el sistema siga funcionando después de 10 años.

Cociente de Variables Aleatorias

Para el cociente \(Z = Y/X\), la densidad está dada por: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_{X,Y}(x, xz) dx \] Si \(X\) y \(Y\) son independientes: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) f_Y(xz) dx \]

Ejemplo clásico: Cociente de dos normales estándar

Derivación de la fórmula para el cociente \[ \begin{align*} F_Z(z) &= \iint_{\{y/x \le z\}} f_X(x)f_Y(y) dx dy \\ &= \int_{-\infty}^0 \int_{zx}^{\infty} f_X(x)f_Y(y) dy dx + \int_0^{\infty} \int_{-\infty}^{zx} f_X(x)f_Y(y) dy dx \end{align*} \] Diferenciando bajo el signo integral: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^0 (-x)f_X(x)f_Y(zx) dx + \int_0^{\infty} x f_X(x)f_Y(zx) dx = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) f_Y(zx) dx \]

Ejemplo del PDF: Cociente de normales estándar
Sean \(X, Y \sim N(0,1)\) i.i.d. Entonces: \[ f_{Y/X}(z) = \frac{1}{\pi(1+z^2)} \] ¡Es la distribución Cauchy(0,1)! Tiene colas pesadas y varianza infinita.

¿Qué distribución tiene el cociente de dos exponenciales independientes? Si \(X, Y \sim \text{Exp}(\lambda)\) independientes, entonces: \[ f_{Y/X}(z) = \frac{1}{(1+z)^2}, \quad z > 0 \] ¡Es una distribución \(F_{2,2}\)! El cociente de exponenciales sigue una distribución F con (2,2) grados de libertad.

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 2) Sea \(X=(X_1,X_2)\) con f.d.p. conjunta \(f(x_1,x_2)=\dfrac{1}{x_1^2x_2^2}\mathbb{1}_{(1,\infty)}(x_1)\mathbb{1}_{(1,\infty)}(x_2)\). Encuentre la f.d.p. de \(X_1/X_2\). Sea \(Z=X_1/X_2\). Usando la fórmula del cociente con \(x_1=zx_2\): \[ f_Z(z) = \int x_2\,f(zx_2,\,x_2)\,dx_2 = \int_{x_2 > \max(1,\,1/z)} x_2\cdot\frac{1}{(zx_2)^2x_2^2}\,dx_2 = \frac{1}{z^2}\int_{\max(1,1/z)}^{\infty} x_2^{-3}\,dx_2, \] (la restricción \(x_2>\max(1,1/z)\) viene de necesitar \(x_2>1\) y \(zx_2>1\) simultáneamente). Usando \(\int_a^\infty x_2^{-3}dx_2 = \frac{1}{2a^2}\): \[ f_Z(z) = \frac{1}{2z^2 \cdot \max(1,1/z)^2}. \] Separando casos: para \(z\ge1\) (donde \(\max(1,1/z)=1\)): \(f_Z(z)=\dfrac{1}{2z^2}\). Para \(0<z<1\) (donde \(\max(1,1/z)=1/z\)): \(f_Z(z)=\dfrac{1}{2z^2\cdot(1/z^2)}=\dfrac12\). Se puede verificar que integra a 1: \(\int_0^1\frac12dz+\int_1^\infty\frac{1}{2z^2}dz=\frac12+\frac12=1\). ✓

Distribución F (Fisher-Snedecor)

La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como: \[ W = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n}, \quad \text{donde } X \sim \chi^2_m,\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes} \] Su densidad es: \[ f_W(w) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{m/2} \frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\frac{m}{n}w\right)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad w > 0 \]

Explora la distribución F

5 10

Propiedades de la distribución F:

  • Si \(T \sim t_n\) (t-Student), entonces \(T^2 \sim F_{1,n}\)
  • \(W^{-1} \sim F_{n,m}\) (recíproca)
  • \(\mathbb{E}[W] = \frac{n}{n-2}\) para \(n > 2\)
  • \(\operatorname{var}(W) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\) para \(n > 4\)
  • Percentiles: \(F(p; m, n) = \frac{1}{F(1-p; n, m)}\)
Relación con la t-Student Si \(T \sim t_n\), entonces \(T^2 = \frac{Z^2}{\chi^2_n/n}\).
Como \(Z^2 \sim \chi^2_1\), tenemos \(T^2 \sim \frac{\chi^2_1}{\chi^2_n/n} = \frac{\chi^2_1/1}{\chi^2_n/n} \sim F_{1,n}\).
Por lo tanto, ¡el cuadrado de una t-Student sigue una F con (1, n) grados de libertad!

Ejemplo de aplicación: En ANOVA, la estadística \(F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}\) sigue una distribución \(F_{k-1, N-k}\) bajo la hipótesis nula.
Para \(m=3, n=12\), el valor crítico al 95% es aproximadamente 3.49.

¿Qué le pasa a la distribución F cuando m y n crecen? Cuando \(n \to \infty\), \(F_{m,n}\) converge a \(\chi^2_m/m\) (una chi-cuadrada escalada). Cuando \(m \to \infty\), el comportamiento es similar. En la práctica, para grados de libertad grandes (>100), la distribución F se aproxima a una normal.

Ejercicio

Usando la propiedad de reciprocidad \(W^{-1}\sim F_{n,m}\) (mencionada arriba), derive la relación de percentiles \(F(p;m,n) = 1/F(1-p;n,m)\). Por definición, \(F(p;m,n)\) es el valor tal que \(\mathbb{P}(W\le F(p;m,n))=p\), donde \(W\sim F_{m,n}\). Esta desigualdad es equivalente a: \[ \mathbb{P}(W\le F(p;m,n)) = \mathbb{P}\!\left(\frac{1}{W}\ge \frac{1}{F(p;m,n)}\right) = p, \] es decir, \[ \mathbb{P}\!\left(\frac{1}{W} < \frac{1}{F(p;m,n)}\right) = 1-p. \] Pero por la propiedad de reciprocidad, \(1/W\sim F_{n,m}\). Por definición de percentil aplicada a \(1/W\), el valor \(v\) tal que \(\mathbb{P}(1/W\le v)=1-p\) es exactamente \(v=F(1-p;n,m)\). Comparando ambas expresiones: \[ F(1-p;n,m) = \frac{1}{F(p;m,n)} \quad\Longleftrightarrow\quad F(p;m,n) = \frac{1}{F(1-p;n,m)}. \] Esta identidad es la razón práctica por la que las tablas de la distribución F solo publican percentiles altos (como 0.95 o 0.99): los percentiles bajos se obtienen invirtiendo y cambiando el orden de los grados de libertad.

Aplicaciones: Cociente de Chi-cuadradas

Sean \(X \sim \chi^2_m\) e \(Y \sim \chi^2_n\) independientes. Entonces: \[ Z = \frac{X}{Y} \text{ tiene densidad } f_Z(z) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{z^{\frac{m}{2}-1}}{(1+z)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad z > 0 \] Esta es la base de la distribución \(F\).

Simulador: Cociente de Chi-cuadradas vs F

3 6

Relación entre F y Beta:
Si \(W \sim F_{m,n}\), entonces: \[ \frac{\frac{m}{n}W}{1+\frac{m}{n}W} \sim \text{Beta}\left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \] Esta transformación es útil para calcular percentiles de la distribución F.

¿Para qué se usa la distribución F en estadística? La distribución F es fundamental en:
  • ANOVA (comparación de medias de múltiples grupos)
  • Prueba de igualdad de varianzas (prueba F)
  • Pruebas de significancia global en regresión lineal
  • Comparación de modelos anidados

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 11, ej. 2 — adaptado) Sean \(X_1,X_2\) variables aleatorias independientes con \(X_i\sim\text{Gamma}(\alpha_i,\lambda)\) (mismo parámetro de tasa \(\lambda\)). Encuentre la f.d.p. de \(W=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}\), y explique su relación con la distribución F de esta página. Sea \(S=X_1+X_2\), de modo que \(X_1=WS\), \(X_2=S(1-W)\). El jacobiano de \((x_1,x_2)\to(w,s)\) es \(|J|=s\). La densidad conjunta (por independencia) es: \[ f(x_1,x_2) = \frac{\lambda^{\alpha_1}x_1^{\alpha_1-1}e^{-\lambda x_1}}{\Gamma(\alpha_1)}\cdot\frac{\lambda^{\alpha_2}x_2^{\alpha_2-1}e^{-\lambda x_2}}{\Gamma(\alpha_2)}. \] Sustituyendo \(x_1=ws\), \(x_2=s(1-w)\), y multiplicando por \(|J|=s\): \[ f(w,s) = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}\, s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}, \quad 0<w<1,\ s>0. \] ¡La densidad se factoriza en una parte que depende solo de \(w\) y otra solo de \(s\)! Integrando sobre \(s\) (usando \(\int_0^\infty s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}ds=\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)/\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}\)): \[ f_W(w) = \frac{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}, \quad 0<w<1, \] que es exactamente la densidad de una \(\text{Beta}(\alpha_1,\alpha_2)\). Esta es la versión más fundamental de la relación F–Beta de esta página: cuando \(\alpha_1=m/2\), \(\alpha_2=n/2\) (es decir, \(X_1,X_2\) son chi-cuadradas), \(W=X_1/(X_1+X_2)\) coincide exactamente con la transformación \(\frac{(m/n)W_F}{1+(m/n)W_F}\) de una \(F_{m,n}\), confirmando por qué esa combinación resulta Beta.