Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una **muestra aleatoria** (i.i.d.) de una población con función de distribución \(F\). Los **estadísticos de orden** son las variables ordenadas: \[ X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)} \] donde \(X_{(1)} = \min\{X_i\}\), \(X_{(n)} = \max\{X_i\}\).

#### Simulador: Muestra aleatoria y estadísticos de orden

Tamaño de muestra n:8Distribución:

**Aplicaciones:** - **Sistemas en serie:** El tiempo de vida es \\(X\_{(1)}\\) (el más débil falla primero) - **Sistemas en paralelo:** El tiempo de vida es \\(X\_{(n)}\\) (el último en fallar) - **Control de calidad:** El rango \\(R = X\_{(n)} - X\_{(1)}\\) mide la variabilidad

**¿Qué representa la mediana muestral en términos de estadísticos de orden?**

Si \\(n\\) es impar, la mediana es \\(X\_{((n+1)/2)}\\) (el estadístico de orden central). Si \\(n\\) es par, la mediana es \\(\\frac{1}{2}(X\_{(n/2)} + X\_{(n/2+1)})\\).

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 1) Considere \\(X\_1,\\ldots,X\_n\\) una muestra aleatoria de una población distribuida uniformemente en \\((0,\\theta)\\). Considere los estimadores \\(\\tilde\\theta\\) y \\(\\hat\\theta\\) del parámetro \\(\\theta\\) dados por \\(\\tilde\\theta=2\\bar X\\), \\(\\hat\\theta=\\frac{n+1}{n}X\_{(n)}\\). Muestre que ambos son estimadores insesgados de \\(\\theta\\), es decir, \\(\\mathbb{E}\[\\tilde\\theta\]=\\theta\\) y \\(\\mathbb{E}\[\\hat\\theta\]=\\theta\\).

Para \\(\\tilde\\theta\\): como \\(X\_i\\sim\\text{Unif}(0,\\theta)\\), \\(\\mathbb{E}\[X\_i\]=\\theta/2\\), así que \\(\\mathbb{E}\[\\bar X\]=\\theta/2\\) y \\\[ \\mathbb{E}\[\\tilde\\theta\] = 2\\,\\mathbb{E}\[\\bar X\] = 2\\cdot\\frac{\\theta}{2} = \\theta. \\\] Para \\(\\hat\\theta\\), necesitamos \\(\\mathbb{E}\[X\_{(n)}\]\\). Usando \\(F(x)=x/\\theta\\) y la fórmula del máximo (módulo siguiente), \\(f\_{X\_{(n)}}(x)=n f(x)\[F(x)\]^{n-1} = \\frac{n}{\\theta^n}x^{n-1}\\) para \\(0\\le x\\le\\theta\\). Entonces: \\\[ \\mathbb{E}\[X\_{(n)}\] = \\int\_0^\\theta x\\cdot\\frac{n}{\\theta^n}x^{n-1}\\,dx = \\frac{n}{\\theta^n}\\cdot\\frac{\\theta^{n+1}}{n+1} = \\frac{n}{n+1}\\theta. \\\] Por lo tanto: \\\[ \\mathbb{E}\[\\hat\\theta\] = \\frac{n+1}{n}\\cdot\\frac{n}{n+1}\\theta = \\theta. \\\] Ambos estimadores son insesgados, aunque tienen varianzas distintas — de hecho, \\(\\hat\\theta\\) (basado en el máximo) resulta tener menor varianza para \\(n\\) grande, lo que lo hace preferible en la práctica.

Para el **máximo** \(X_{(n)}\): \[ F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1} \] Para el **mínimo** \(X_{(1)}\): \[ F_{X_{(1)}}(x) = 1 - [1 - F(x)]^n, \quad f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) [1 - F(x)]^{n-1} \]

#### Distribuciones del mínimo y máximo para Uniforme(0,1)

n (tamaño de muestra):10

Demostración para el máximo

\\\[ \\begin{align\*} F\_{X\_{(n)}}(x) &= \\mathbb{P}(X\_{(n)} \\le x) = \\mathbb{P}(X\_1 \\le x, \\ldots, X\_n \\le x) \\\\ &= \\prod\_{i=1}^n \\mathbb{P}(X\_i \\le x) = \[F(x)\]^n \\end{align\*} \\\] Derivando: \\(f\_{X\_{(n)}}(x) = n f(x) \[F(x)\]^{n-1}\\)

**Ejemplo del PDF:** Para uniformes en (0,1), \\(F(x)=x\\). \\\[ f\_{X\_{(n)}}(x) = n x^{n-1}, \\quad 0 \\le x \\le 1 \\\] \\\[ f\_{X\_{(1)}}(x) = n (1-x)^{n-1}, \\quad 0 \\le x \\le 1 \\\] El mínimo tiende a 0 y el máximo tiende a 1 cuando \\(n\\) crece. ## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 8) Sean \\(X\\) y \\(Y\\) variables aleatorias absolutamente continuas e independientes (no necesariamente idénticamente distribuidas). Defina \\(V=\\max\\{X,Y\\}\\). Demuestre que \\(f\_V(v) = f\_X(v)F\_Y(v) + F\_X(v)f\_Y(v)\\).

Como \\(X\\) y \\(Y\\) son independientes: \\\[ F\_V(v) = \\mathbb{P}(\\max\\{X,Y\\}\\le v) = \\mathbb{P}(X\\le v, Y\\le v) = F\_X(v)F\_Y(v). \\\] Derivando respecto a \\(v\\) con la regla del producto: \\\[ f\_V(v) = \\frac{d}{dv}\\left\[F\_X(v)F\_Y(v)\\right\] = f\_X(v)F\_Y(v) + F\_X(v)f\_Y(v). \\\] Este resultado generaliza la fórmula del máximo dada arriba: cuando \\(X\\) y \\(Y\\) son además idénticamente distribuidas (\\(F\_X=F\_Y=F\\), \\(f\_X=f\_Y=f\\)), se reduce a \\(f\_V(v)=2f(v)F(v)\\), que coincide con \\(nf(x)\[F(x)\]^{n-1}\\) evaluado en \\(n=2\\).

La función de densidad del **r-ésimo estadístico de orden** \(X_{(r)}\) es: \[ f_{X_{(r)}}(x) = n \binom{n-1}{r-1} f(x) [F(x)]^{r-1} [1 - F(x)]^{n-r} \]

#### Visualización: Densidad del percentil muestral

n (tamaño muestra):10r (estadístico de orden):5

Interpretación intuitiva (argumento de Blitzstein & Hwang)

Para que \\(X\_{(r)}\\) caiga en \\(\[x, x+dx\]\\): 1. Una observación cae en \\(dx\\): \\(n f(x) dx\\) 2. Elegir \\((r-1)\\) observaciones de las \\((n-1)\\) restantes que caen a la izquierda: \\(\\binom{n-1}{r-1} \[F(x)\]^{r-1}\\) 3. Las \\((n-r)\\) observaciones restantes caen a la derecha: \\(\[1-F(x)\]^{n-r}\\) Multiplicando se obtiene la fórmula.

**¿Qué distribución tiene la mediana muestral para uniformes?**

Para \\(n\\) impar, \\(r = (n+1)/2\\). En uniformes (0,1), la densidad de la mediana es \\\[ f\_{X\_{(r)}}(x) = \\frac{n!}{\[(r-1)!\]^2} x^{r-1} (1-x)^{r-1} \\\] ¡Es una distribución **Beta(\\(r, r\\))**!

## Ejercicio

Sea \\(X\_1,\\ldots,X\_7\\) una muestra de Uniforme(0,1). Encuentre la distribución de la mediana muestral \\(X\_{(4)}\\) y calcule \\(\\mathbb{E}\[X\_{(4)}\]\\) y \\(\\operatorname{var}(X\_{(4)})\\).

Con \\(n=7\\) (impar), la mediana es \\(X\_{(r)}\\) con \\(r=(7+1)/2=4\\). Por el resultado de esta página, \\(X\_{(4)}\\sim\\text{Beta}(4,4)\\). Usando las fórmulas de la Beta: \\\[ \\mathbb{E}\[X\_{(4)}\] = \\frac{r}{r+r} = \\frac{4}{8} = 0.5, \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X\_{(4)}) = \\frac{r\\cdot r}{(2r)^2(2r+1)} = \\frac{16}{64\\times9} = \\frac{16}{576} \\approx 0.0278. \\\] Tiene sentido que \\(\\mathbb{E}\[X\_{(4)}\]=0.5\\): por simetría, la mediana muestral de una uniforme(0,1) debe concentrarse alrededor del centro del intervalo.

El **rango** de la muestra es \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\). Su densidad está dada por: \[ f_R(r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{\infty} f(u) f(r+u) [F(r+u) - F(u)]^{n-2} du, \quad r \ge 0 \]

#### Distribución del rango para Uniforme(0,1)

n (tamaño muestra):10

Derivación de la densidad conjunta de (X₁, Xₙ)

\\\[ \\begin{align\*} F\_{1n}(x,y) &= \\mathbb{P}(X\_{(1)} \\le x, X\_{(n)} \\le y) \\\\ &= \\mathbb{P}(X\_{(n)} \\le y) - \\mathbb{P}(X\_{(1)} > x, X\_{(n)} \\le y) \\\\ &= \[F(y)\]^n - \[F(y) - F(x)\]^n \\end{align\*} \\\] Derivando: \\(f\_{1n}(x,y) = n(n-1) f(x) f(y) \[F(y) - F(x)\]^{n-2}\\)

**Ejemplo importante:** Para uniformes en (0,1), la densidad del rango es \\\[ f\_R(r) = n(n-1) r^{n-2} (1-r), \\quad 0 \\le r \\le 1 \\\] ¡El rango tiene distribución **Beta(\\(n-1, 2\\))**!

**¿Qué pasa con el rango cuando n crece?**

Para uniformes (0,1), \\(\\mathbb{E}\[R\] = \\frac{n-1}{n+1} \\to 1\\) cuando \\(n \\to \\infty\\). El rango tiende a 1 (cubre todo el intervalo). La varianza \\(\\operatorname{var}(R) = \\frac{2(n-1)}{(n+1)^2(n+2)} \\to 0\\).

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 2) Sea \\(U=(U\_1,\\ldots,U\_n)\\) una muestra aleatoria de \\(U\\sim\\text{Unif}(\\mu-\\theta,\\mu+\\theta)\\). Encuentre la f.d.p. del rango muestral \\(R(U)=U\_{(n)}-U\_{(1)}\\).

Como \\(\\text{Unif}(\\mu-\\theta,\\mu+\\theta) = \\mu-\\theta+2\\theta\\cdot\\text{Unif}(0,1)\\) (una transformación afín), el rango \\(R\\) de la muestra \\(U\\) es simplemente \\(2\\theta\\) veces el rango \\(R'\\) de una muestra de \\(n\\) Uniforme(0,1) i.i.d. — la traslación por \\(\\mu-\\theta\\) se cancela al restar \\(U\_{(n)}-U\_{(1)}\\), y el reescalamiento por \\(2\\theta\\) pasa directamente al rango. Ya sabemos (ejemplo de esta página) que \\(R'\\sim\\text{Beta}(n-1,2)\\), con densidad \\(f\_{R'}(r')=n(n-1)r'^{n-2}(1-r')\\) para \\(0\\le r'\\le1\\). Como \\(R=2\\theta R'\\), usando el cambio de variable \\(r'=r/(2\\theta)\\), \\(dr'/dr=1/(2\\theta)\\): \\\[ f\_R(r) = f\_{R'}\\!\\left(\\frac{r}{2\\theta}\\right)\\cdot\\frac{1}{2\\theta} = \\frac{n(n-1)}{2\\theta}\\left(\\frac{r}{2\\theta}\\right)^{n-2}\\left(1-\\frac{r}{2\\theta}\\right), \\quad 0\\le r\\le 2\\theta. \\\]

La densidad conjunta de todos los estadísticos de orden es: \[ f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(y_1,\ldots,y_n) = n! \prod_{i=1}^n f(y_i), \quad y_1 < y_2 < \cdots < y_n \]

#### Visualización: Espaciados de uniformes

n (tamaño muestra):5

Demostración

La transformación de \\((X\_1,\\ldots,X\_n)\\) a \\((X\_{(1)},\\ldots,X\_{(n)})\\) es una permutación. Hay \\(n!\\) permutaciones posibles, cada una con determinante jacobiano 1. Por el teorema de transformación multivariado: \\\[ f\_{Y}(y) = \\sum\_{\\text{permutaciones}} f\_X(h(y)) = n! \\prod\_{i=1}^n f(y\_i), \\quad y\_1 < \\cdots < y\_n \\\]

**Propiedad importante:** Los **espaciados** \\(D\_i = X\_{(i)} - X\_{(i-1)}\\) (con \\(X\_{(0)}=0\\)) tienen propiedades especiales. Para uniformes (0,1), los vectores de espaciados tienen distribución **Dirichlet** con parámetros \\(\\alpha\_i = 1\\).

**¿Cuál es la probabilidad de que \\(X\_k\\) sea el mínimo de una muestra?**

Para exponenciales con tasas distintas: \\\[ \\mathbb{P}(X\_k = \\min\\{X\_1,\\ldots,X\_n\\}) = \\frac{\\lambda\_k}{\\sum\_{i=1}^n \\lambda\_i} \\\] (resultado demostrado en el PDF). Para i.i.d., la probabilidad es \\(1/n\\).

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 7) Sean \\(X\_1,\\ldots,X\_n\\) i.i.d. con densidad \\(f(x)=\\frac{1}{\\theta}\\mathbb{1}\_{(0,\\theta)}(x)\\). Muestre que \\(X\_{(1)}/X\_{(n)}\\) y \\(X\_{(n)}\\) son independientes.

Con \\(F(x)=x/\\theta\\), la densidad conjunta de \\((X\_{(1)},X\_{(n)})\\) (fórmula del módulo "Distribución del Rango") es: \\\[ f\_{1n}(x,y) = n(n-1)f(x)f(y)\[F(y)-F(x)\]^{n-2} = \\frac{n(n-1)}{\\theta^n}(y-x)^{n-2}, \\quad 0<x<y<\\theta. \\\] Sea \\(U=X\_{(1)}/X\_{(n)}\\), \\(V=X\_{(n)}\\), de modo que \\(X\_{(1)}=UV\\), \\(X\_{(n)}=V\\). El jacobiano de \\((x,y)\\to(u,v)\\) es \\(\\left|\\det\\begin{pmatrix}v & u\\\\0 & 1\\end{pmatrix}\\right|=v\\). Sustituyendo \\(y-x=v-uv=v(1-u)\\): \\\[ f\_{U,V}(u,v) = \\frac{n(n-1)}{\\theta^n}\\big\[v(1-u)\\big\]^{n-2}\\cdot v = \\frac{n(n-1)}{\\theta^n}(1-u)^{n-2}\\,v^{n-1}, \\quad 0<u<1,\\ 0<v<\\theta. \\\] ¡La densidad conjunta se factoriza en una función de \\(u\\) y una función de \\(v\\)! Por lo tanto \\(U=X\_{(1)}/X\_{(n)}\\) y \\(V=X\_{(n)}\\) son independientes — integrando por separado se obtiene \\(f\_U(u)=(n-1)(1-u)^{n-2}\\) (una Beta(1,n-1)) y \\(f\_V(v)=nv^{n-1}/\\theta^n\\) (la densidad del máximo ya conocida del módulo 2).

**Problema:** Se distribuyen \(n\) personas "al azar" a lo largo de una milla. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas a menos de \(d\) millas de distancia?

#### Simulación del problema de las personas

n (número de personas):3d (distancia mínima):0.20

Solución teórica (del PDF)

La probabilidad es \\(p = \[1 - (n-1)d\]^n\\) para \\(d < 1/(n-1)\\). Para \\(n=3\\), \\(p = (1-2d)^3\\). La demostración usa la densidad conjunta de los estadísticos de orden: \\\[ p = \\int\_0^{1-(n-1)d} \\int\_{y\_1+d}^{1-(n-2)d} \\cdots \\int\_{y\_{n-1}+d}^{1} n! \\, dy\_n \\cdots dy\_1 = \[1-(n-1)d\]^n \\\]

**¿Qué pasa cuando \\(d\\) es muy pequeño o muy grande?**

Si \\(d \\to 0\\), \\(p \\to 1\\) (es fácil que no haya dos personas cerca). Si \\(d \\ge 1/(n-1)\\), \\(p = 0\\) (es imposible que todas estén separadas por esa distancia, pues \\((n-1)d\\) excede la longitud total de la milla).

## Ejercicio

Use la fórmula \\(p=\[1-(n-1)d\]^n\\) para calcular la probabilidad de que, entre 5 personas distribuidas al azar en la milla, ninguna esté a menos de \\(d=0.1\\) millas de otra.

Primero verificamos que la fórmula aplica: necesitamos \\(d < 1/(n-1) = 1/4 = 0.25\\). Como \\(d=0.1<0.25\\), sí aplica. Sustituyendo \\(n=5\\), \\(d=0.1\\): \\\[ p = \[1-(5-1)(0.1)\]^5 = \[1-0.4\]^5 = (0.6)^5 \\approx 0.0778. \\\] Es decir, con 5 personas es bastante improbable (menos del 8%) que todas queden separadas por al menos 0.1 millas — compare esto con el simulador de arriba usando \\(n=5\\) (ajustando el slider) y \\(d=0.1\\).