El **Teorema del Estadístico Inconsciente (TEI)** nos dice cómo calcular la esperanza de una función \(g(X,Y)\) sin necesidad de encontrar primero la distribución de \(g(X,Y)\).

#### Simulador: Esperanza de funciones en dados

Función g(X,Y):

**TEI para vectores aleatorios:** Caso discreto: \\(\\mathbb{E}\[g(X,Y)\] = \\sum\_x \\sum\_y g(x,y) f\_{XY}(x,y)\\) Caso continuo: \\(\\mathbb{E}\[g(X,Y)\] = \\iint\_{\\mathbb{R}^2} g(x,y) f\_{XY}(x,y) dx dy\\)

**Propiedad:** Siempre se cumple que \\(\\mathbb{E}\[X+Y\] = \\mathbb{E}\[X\] + \\mathbb{E}\[Y\]\\). ¿Por qué?

La esperanza es lineal. Para \\(g(X,Y)=X+Y\\), la integral/suma se separa en dos términos, cada uno dando la esperanza marginal correspondiente.

## Ejercicio

Sean \\(X,Y\\) los resultados de lanzar dos dados justos de forma independiente (cada uno Uniforme Discreta en \\(\\{1,\\ldots,6\\}\\)). Use el TEI para calcular \\(\\mathbb{E}\[\\max(X,Y)\]\\) y verifique el resultado con el simulador de arriba.

Primero encontramos la f.m.p. de \\(\\max(X,Y)\\). Para \\(k=1,\\ldots,6\\): \\\[ \\mathbb{P}(\\max(X,Y)\\le k) = \\mathbb{P}(X\\le k)\\mathbb{P}(Y\\le k) = \\left(\\frac{k}{6}\\right)^2 \\implies \\mathbb{P}(\\max(X,Y)=k) = \\frac{k^2-(k-1)^2}{36} = \\frac{2k-1}{36}. \\\] Aplicando el TEI (aquí, directamente sobre la distribución de \\(g(X,Y)=\\max(X,Y)\\), lo cual es válido porque ya conocemos su f.m.p.): \\\[ \\mathbb{E}\[\\max(X,Y)\] = \\sum\_{k=1}^{6} k\\cdot\\frac{2k-1}{36} = \\frac{1+6+15+28+45+66}{36} = \\frac{161}{36} \\approx 4.4722. \\\] Compare este valor con el que reporta el simulador al seleccionar "g(X,Y) = max(X, Y)".

La **covarianza** mide la asociación lineal entre dos variables: \[ \operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] \] El **coeficiente de correlación** \(\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) está normalizado entre -1 y 1.

#### Explora diferentes niveles de correlación

Correlación ρ:0.80

**Propiedades de la covarianza:** - \\(\\operatorname{cov}(X,X) = \\operatorname{var}(X)\\) - \\(\\operatorname{cov}(X,Y) = \\operatorname{cov}(Y,X)\\) - \\(\\operatorname{cov}(aX, bY) = ab \\operatorname{cov}(X,Y)\\) - \\(\\operatorname{cov}(X+Y, Z) = \\operatorname{cov}(X,Z) + \\operatorname{cov}(Y,Z)\\) - Si \\(X \\perp Y\\), entonces \\(\\operatorname{cov}(X,Y)=0\\) (pero el recíproco no es cierto)

#### Contraejemplo: covarianza cero NO implica independencia

X\\Y	-1	0	1	P(X=x)
-1	1/3	0	1/3	2/3
1	0	1/3	0	1/3
P(Y=y)	1/3	1/3	1/3	1

**Verifica:** En esta tabla, \\(\\mathbb{E}\[X\]=-1/3\\), \\(\\mathbb{E}\[Y\]=0\\), \\(\\mathbb{E}\[XY\]=0\\). ¿Son independientes X e Y?

**No son independientes.** Por ejemplo, \\(f(-1,-1)=1/3\\) pero \\(f\_X(-1)f\_Y(-1) = (2/3)(1/3)=2/9\\). ¡Covarianza cero pero dependientes!

**Desigualdad de Cauchy-Schwarz:**\\\[ (\\mathbb{E}\[XY\])^2 \\le \\mathbb{E}\[X^2\]\\mathbb{E}\[Y^2\] \\\] De aquí se deduce que \\(|\\operatorname{corr}(X,Y)| \\le 1\\). ## Ejercicio

Una urna tiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea \\(X\\) el número de la primera bola extraída y \\(Y\\) el de la segunda. Determine \\(\\operatorname{cov}(X,Y)\\) y \\(\\rho\_{XY}\\).

Hay 6 pares ordenados igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6: \\((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\\). Por simetría, \\(X\\) y \\(Y\\) tienen marginal Uniforme Discreta en \\(\\{1,2,3\\}\\), así que \\(\\mathbb{E}\[X\]=\\mathbb{E}\[Y\]=2\\) y \\(\\mathbb{E}\[X^2\]=\\mathbb{E}\[Y^2\]=\\frac{1+4+9}{3}=\\frac{14}{3}\\), de donde \\(\\operatorname{var}(X)=\\operatorname{var}(Y)=\\frac{14}{3}-4=\\frac{2}{3}\\). Para \\(\\mathbb{E}\[XY\]\\), sumamos \\(xy\\) sobre los 6 pares: \\\[ \\mathbb{E}\[XY\] = \\frac{1\\cdot2+1\\cdot3+2\\cdot1+2\\cdot3+3\\cdot1+3\\cdot2}{6} = \\frac{22}{6} = \\frac{11}{3}. \\\] Entonces: \\\[ \\operatorname{cov}(X,Y) = \\mathbb{E}\[XY\]-\\mathbb{E}\[X\]\\mathbb{E}\[Y\] = \\frac{11}{3}-4 = -\\frac{1}{3}, \\qquad \\rho\_{XY} = \\frac{-1/3}{2/3} = -\\frac{1}{2}. \\\] La covarianza es negativa: si la primera bola extraída tiene un número alto, queda menos probabilidad de que la segunda también lo tenga (muestreo sin reemplazo).

Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \]

#### Simulador: Comportamiento de la media muestral

Distribución:Tamaño muestral n:30

**Propiedades fundamentales:** - \\(\\mathbb{E}\[\\bar{X}\_n\] = \\mu\\) (insesgado) - \\(\\operatorname{var}(\\bar{X}\_n) = \\sigma^2/n\\) - \\(\\mathbb{E}\[S^2\] = \\sigma^2\\) (cuasivarianza insesgada) La división por \\(n-1\\) (en lugar de \\(n\\)) corrige el sesgo.

**¿Por qué usamos n-1 en lugar de n para la varianza muestral?**

Porque \\(\\mathbb{E}\[\\frac{1}{n}\\sum (X\_i - \\bar{X})^2\] = \\frac{n-1}{n}\\sigma^2\\). Al dividir por \\(n-1\\) obtenemos un estimador insesgado: \\(\\mathbb{E}\[S^2\] = \\sigma^2\\).

## Ejercicio

Se registra la siguiente muestra de 5 observaciones: 4, 8, 6, 5, 7. Calcule \\(\\bar{X}\\) y \\(S^2\\).

La media muestral es: \\\[ \\bar{X} = \\frac{4+8+6+5+7}{5} = \\frac{30}{5} = 6. \\\] Las desviaciones respecto a la media son \\(-2, 2, 0, -1, 1\\), y sus cuadrados suman \\(4+4+0+1+1=10\\). Entonces: \\\[ S^2 = \\frac{1}{n-1}\\sum\_{i=1}^5 (X\_i-\\bar{X})^2 = \\frac{10}{4} = 2.5. \\\]

Para un vector aleatorio \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T\): \[ \boldsymbol{\mu} = \mathbb{E}[\mathbf{X}] = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T] \] \(\boldsymbol{\Sigma}\) es simétrica y semidefinida positiva.

#### Visualización de matriz de covarianzas 2D

Varianza de X₁ (σ₁²):1.0Varianza de X₂ (σ₂²):1.0Covarianza σ₁₂:0.5

**Propiedades:** - \\(\\mathbb{E}\[A\\mathbf{X}\] = A\\boldsymbol{\\mu}\\) - \\(\\operatorname{cov}(A\\mathbf{X}) = A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T\\) - \\(\\operatorname{vartot}(\\mathbf{X}) = \\operatorname{tr}(\\boldsymbol{\\Sigma}) = \\sum\_i \\sigma\_i^2 = \\sum\_i \\lambda\_i\\) La **variación total** es la suma de las varianzas, igual a la suma de los valores propios.

**¿Qué significa que la matriz de covarianzas sea diagonal?**

Si \\(\\boldsymbol{\\Sigma}\\) es diagonal, todas las covarianzas son cero: las variables están **no correlacionadas**. Pero cuidado: ¡no correlacionadas no implica independencia!

## Ejercicio

Sea \\(\\mathbf{X}=(X\_1,X\_2)^T\\) con matriz de covarianzas \\(\\boldsymbol{\\Sigma}=\\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 3\\end{pmatrix}\\). Use la fórmula \\(\\operatorname{cov}(A\\mathbf{X})=A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T\\) con \\(A=(1,1)\\) para calcular \\(\\operatorname{var}(X\_1+X\_2)\\), y verifique el resultado con la fórmula usual de varianza de una suma.

Con \\(A=(1,1)\\): \\\[ A\\boldsymbol{\\Sigma} = (1,1)\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&3\\end{pmatrix} = (2+1,\\ 1+3) = (3,4), \\\] \\\[ A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T = (3,4)\\binom{1}{1} = 3+4 = 7. \\\] Verificación con la fórmula usual: \\(\\operatorname{var}(X\_1+X\_2)=\\operatorname{var}(X\_1)+\\operatorname{var}(X\_2)+2\\operatorname{cov}(X\_1,X\_2) = 2+3+2(1)=7\\). Ambos métodos coinciden, como debe ser: el enfoque matricial generaliza la fórmula escalar a cualquier combinación lineal del vector.

Sea \(N\) una variable aleatoria entera no negativa, y \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. independientes de \(N\). Definimos la suma aleatoria: \[ S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N \]

#### Simulador: Elevador con personas

Número medio de personas (λ Poisson):2.3Peso medio por persona (kg):66.25

**Resultados clave para sumas aleatorias:**\\\[ \\mathbb{E}\[S\_N\] = \\mathbb{E}\[N\] \\cdot \\mathbb{E}\[X\] \\\] \\\[ \\operatorname{var}(S\_N) = \\operatorname{var}(N) \\cdot (\\mathbb{E}\[X\])^2 + \\mathbb{E}\[N\] \\cdot \\operatorname{var}(X) \\\]

**¿Por qué aparece \\(\\mathbb{E}\[N\] \\cdot \\operatorname{var}(X)\\) y \\(\\operatorname{var}(N) \\cdot (\\mathbb{E}\[X\])^2\\)?**

Por la ley de varianza total: \\(\\operatorname{var}(S\_N) = \\mathbb{E}\[\\operatorname{var}(S\_N|N)\] + \\operatorname{var}(\\mathbb{E}\[S\_N|N\])\\). El primer término da \\(\\mathbb{E}\[N\]\\sigma\_X^2\\) y el segundo \\(\\sigma\_N^2 \\mu\_X^2\\).

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 5) Sea \\((X\_i, i\\in\\mathbb{N})\\) una sucesión de v.a.i.i.d. con f.d.p. común \\(f(x)=\\lambda e^{-\\lambda x}\\mathbb{I}\_{(0,\\infty)}(x)\\). Sea \\(N\\) una v.a. independiente de las \\(X\_i\\)'s, con distribución Uniforme en \\(\\{1,2,3\\}\\). Considere la suma aleatoria \\(S=\\sum\_{i=1}^N X\_i\\). Encuentre su media y su varianza.

Para \\(N\\sim\\text{Uniforme}\\{1,2,3\\}\\): \\(\\mathbb{E}\[N\]=2\\), \\(\\mathbb{E}\[N^2\]=\\frac{1+4+9}{3}=\\frac{14}{3}\\), así que \\(\\operatorname{var}(N)=\\frac{14}{3}-4=\\frac{2}{3}\\). Para cada \\(X\_i\\sim\\text{Exponencial}(\\lambda)\\): \\(\\mathbb{E}\[X\]=1/\\lambda\\), \\(\\operatorname{var}(X)=1/\\lambda^2\\). Aplicando las fórmulas de sumas aleatorias: \\\[ \\mathbb{E}\[S\] = \\mathbb{E}\[N\]\\cdot\\mathbb{E}\[X\] = \\frac{2}{\\lambda}, \\\] \\\[ \\operatorname{var}(S) = \\operatorname{var}(N)(\\mathbb{E}\[X\])^2 + \\mathbb{E}\[N\]\\operatorname{var}(X) = \\frac{2}{3}\\cdot\\frac{1}{\\lambda^2} + 2\\cdot\\frac{1}{\\lambda^2} = \\frac{8/3}{\\lambda^2}. \\\]

Una **mezcla** de distribuciones tiene densidad: \[ f_X(x) = \sum_{i=1}^k p_i f_i(x), \quad \text{con } p_i > 0, \sum p_i = 1 \] Es como elegir al azar de cuál distribución proviene la observación.

#### Mezcla de dos normales (distribución contaminada)

Probabilidad de la normal estándar (p):0.70Desviación de la contaminante (σ):3.0

**Propiedades de la mezcla:**\\\[ \\mathbb{E}\[X\] = \\sum\_{i=1}^k p\_i \\mu\_i \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X) = \\sum\_{i=1}^k p\_i \\sigma\_i^2 + \\sum\_{i=1}^k p\_i (\\mu\_i - \\bar{\\mu})^2 \\\] (varianza dentro de los grupos + varianza entre las medias)

**Observa:** Cuando σ es grande, ¿cómo cambia la forma de la densidad?

Aparece una "cola" más pesada. Las mezclas de normales son útiles para modelar datos atípicos o poblaciones heterogéneas (ej: pesos de personas de diferentes edades).

**Ejemplo adicional:** Poisson con media aleatoria Gamma produce una distribución Binomial Negativa (modelo para número de accidentes). ## Ejercicio

Un tiempo de espera \\(X\\) sigue una mezcla de dos exponenciales: con probabilidad \\(p=0.6\\) proviene de Exponencial(\\(\\lambda\_1=1\\)), y con probabilidad \\(0.4\\) de Exponencial(\\(\\lambda\_2=3\\)). Calcule \\(\\mathbb{E}\[X\]\\) y \\(\\operatorname{var}(X)\\).

Las medias de cada componente son \\(\\mu\_1=1/\\lambda\_1=1\\) y \\(\\mu\_2=1/\\lambda\_2=1/3\\). Usando la fórmula de la media de una mezcla: \\\[ \\mathbb{E}\[X\] = 0.6(1) + 0.4\\left(\\frac{1}{3}\\right) = 0.7333. \\\] Para la varianza usamos \\(\\operatorname{var}(X)=\\sum p\_i\\sigma\_i^2+\\sum p\_i(\\mu\_i-\\bar\\mu)^2\\), con \\(\\sigma\_1^2=1\\), \\(\\sigma\_2^2=1/9\\approx0.1111\\) (varianza de cada exponencial es \\(1/\\lambda^2\\)) y \\(\\bar\\mu=\\mathbb{E}\[X\]=0.7333\\): \\\[ \\text{dentro de grupos: } 0.6(1)+0.4(0.1111) = 0.6444, \\\] \\\[ \\text{entre medias: } 0.6(1-0.7333)^2+0.4(0.3333-0.7333)^2 = 0.6(0.2667)^2+0.4(-0.4)^2 = 0.1067, \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X) = 0.6444+0.1067 = 0.7511. \\\] Se puede verificar directamente con \\(\\operatorname{var}(X)=\\mathbb{E}\[X^2\]-(\\mathbb{E}\[X\])^2\\), usando \\(\\mathbb{E}\[X^2\]=\\sum p\_i\\cdot\\frac{2}{\\lambda\_i^2}=0.6(2)+0.4(2/9)=1.2889\\): \\(1.2889-0.7333^2=0.7511\\). ✓