# Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación

<div class="taller" data-applet="cpi-vc-varianza" id="bkmrk-varianza%3A-%5C%28%5Coperato"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Varianza:** \(\operatorname{var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2] - \mu^2\)  
**Desviación estándar:** \(\sigma_X = \sqrt{\operatorname{var}(X)}\)  
**Coeficiente de variación:** \(\text{cv}(X) = \frac{\sigma_X}{|\mu_X|}\) (medida relativa de dispersión) </div><div class="card">#### Comparación de dispersión

<div class="taller-controles"><label>Distribución 1:</label><select id="bkmrk-cpi-va-carac-dist-cv1"><option value="normal1">Normal(μ=10, σ=1)</option><option value="normal2">Normal(μ=10, σ=3)</option><option value="exponencial1">Exponencial(λ=0.5)</option></select><label>Distribución 2:</label><select id="bkmrk-cpi-va-carac-dist-cv2"><option value="normal1">Normal(μ=10, σ=1)</option><option value="normal2">Normal(μ=10, σ=3)</option><option value="exponencial2">Exponencial(λ=0.2)</option></select><button class="button" id="bkmrk-cpi-va-carac-comparar-cv">Comparar</button></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpi-va-carac-cv-resultado"></div></div>**Propiedades de la varianza:**

- \\(\\operatorname{var}(a + bX) = b^2 \\operatorname{var}(X)\\)
- \\(\\operatorname{var}(X) \\ge 0\\) y \\(\\operatorname{var}(X) = 0\\) si y solo si \\(P(X = c) = 1\\)
- Si \\(X\\) e \\(Y\\) son independientes: \\(\\operatorname{var}(X+Y) = \\operatorname{var}(X) + \\operatorname{var}(Y)\\)

<details class="callout info"><summary>**¿Por qué se usa el coeficiente de variación?**</summary>

El CV es adimensional, lo que permite comparar la dispersión de variables con diferentes unidades. Por ejemplo, comparar la variabilidad del peso (kg) y la altura (cm). </details>## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Continuando el ejercicio de la página anterior (\\(X\\) con \\(x=-2,-1,0,1,2\\), \\(f(x)=1/8,2/8,1/8,2/8,2/8\\), \\(\\mathbb{E}\[X\]=0.25\\)), calcule \\(\\operatorname{var}(X)\\).</summary>

Primero, por TEI: \\(\\mathbb{E}\[X^2\] = 4(\\tfrac18)+1(\\tfrac28)+0(\\tfrac18)+1(\\tfrac28)+4(\\tfrac28) = \\frac{4+2+0+2+8}{8} = \\frac{16}{8}=2\\).  
Entonces \\(\\operatorname{var}(X) = \\mathbb{E}\[X^2\]-\\mathbb{E}\[X\]^2 = 2 - 0.25^2 = 2-0.0625 = 1.9375\\). </details></div></div>