Variables Aleatorias Continuas

Una v.a. es continua si su función de distribución es continua en todo \(\mathbb{R}\). Su función de densidad (f.d.p.) satisface: \[ f_X(x) \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1, \quad \mathbb{P}(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) dx \]

Explorador de densidades continuas

Ejemplo del PDF (diana circular): Distancia al centro, radio R=5.

\[ f_Y(y) = \frac{2y}{R^2} \mathbb{1}_{(0,R)}(y), \quad \mathbb{P}(Y \le 2) = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 0.16 \]
¿Puede una f.d.p. tomar valores mayores que 1? ¡Sí! La densidad no es una probabilidad, sino una función que integrada da probabilidad. Por ejemplo, Uniforme(0,0.5) tiene densidad 2 > 1 en (0,0.5). Lo importante es que el área total bajo la curva sea 1.

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 7, ej. 9a) Sea \(X\) una variable aleatoria continua con función de densidad \(f(x) = \frac{3x^2}{2}\) si \(-1 < x < 1\), y \(0\) en otro caso. Calcule \(\mathbb{P}(|X| < 1/2)\). \[ \mathbb{P}(|X|<1/2) = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{3x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{2}\right]_{-1/2}^{1/2} = \frac{1}{16}-\left(-\frac{1}{16}\right) = \frac{1}{8} = 0.125. \]
Revision #2
Created 2026-09-11 00:23:29 UTC by Cheque Soto
Updated 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto